tttttt
Strona: 1

Podstawowe informacje o zajęciach

Nazwa zajęć: Funkcje rzeczywiste II

Cykl kształcenia: 2018/2019

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 4062

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce

Układ zajęć w planie studiów: sem: 2 / W30 C30 / 5 ECTS / E

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: prof. dr hab. Józef Banaś

Dane kontaktowe koordynatora: budynek L-27, pokój 5, tel. 17 8651496, jbanas@prz.edu.pl

Terminy konsultacji koordynatora: podane w harmonogramie pracy jednostki.

Pozostałe osoby prowadzące zajęcia

semestr 2: dr Agnieszka Chlebowicz , termin konsultacji podany w harmonogramie pracy jednostki.

semestr 2: dr hab. Beata Rzepka, prof. PRz , termin konsultacji podany w harmonogramie pracy jednostki.

Strona: 2

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z całką Lebesgue'a i jej podstawowymi własnościami oraz z głębokimi twierdzeniami dotyczącymi różniczkowalności prawie wszędzie i bezwzględnej ciagłości.

Ogólne informacje o zajęciach kształcenia: Moduł jest realizowany w drugim semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (30 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

  1. E. DiBenedetto, Real Analysis, Birkhäuser, Springer, New York., 2016
  2. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa., 1973
  3. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa., 1986
  4. R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, tom I, PWN, Warszawa., 1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

  1. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa., 1986
  2. R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, tom I, PWN, Warszawa., 1958

Literatura uzupełniająca

  1. I. P. Natanson, Theory of functions of a real variable, Ungar, New York., 1962
Strona: 3

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Znajomość materiału zrealizowanego w ramach modułu Funkcje rzeczywiste I.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Strona: 4

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Sposoby weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z OEK
01. zna podstawowe pojęcia oraz definicje podawane w trakcie wykładów tj.: miara zewnętrzna, warunek Caratheodory'ego, miara Lebesgue'a, funkcja prosta, funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja mierzalna, ciąg funkcji mierzalnych zbieżny prawie wszędzie, według miary i prawie jednostajnie, całka Lebesgue'a, związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_W04++
K_W05++
K_W07+
K_U15+
K_K01+
K_K02+
K_K04+
K_K07+
X2A_W02+
X2A_W03+
X2A_U06+
X2A_U07+
X2A_U08+
X2A_U09+
X2A_K01+
X2A_K02+
X2A_K03+
X2A_K04+
X2A_K06+
02. umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_U01+
K_U02+
K_U03+
K_U04+
K_U05+
K_U07+
K_U08+
K_U13+
X2A_W03+
X2A_U01+
X2A_U02+
X2A_U03+
X2A_U05+
03. umie obliczyć lub oszacować miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R2 wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_U02+
K_U05+
K_U07++
K_U08+
K_U09+
K_U13+
K_U14+
X2A_W03+
X2A_U01+
X2A_U02+
X2A_U03+
X2A_U05+
04. umie sprawdzić, czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_U02+
K_U07++
K_U13+
X2A_W03+
X2A_U01+
X2A_U02+
X2A_U03+
X2A_U05+
05. umie sprawdzić, czy dany ciąg funkcji mierzalnych jest zbieżny prawie wszędzie lub zbieżny według miary oraz zbieżny prawie jednostajnie wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_U01+
K_U02+
K_U03+
K_U04+
K_U05+
K_U07+
K_U08+
K_U09+
K_U13+
K_U14+
X2A_W03+
X2A_U01+
X2A_U02+
X2A_U03+
X2A_U05+
06. umie obliczyć całkę Lebesgue'a funkcji prostej oraz umie obliczyć całkę Lebesgue'a korzystając z własności całki Lebesgue'a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_U02+
K_U07++
X2A_W03+
X2A_U01+
X2A_U03+
X2A_U05+

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Strona: 5

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
2 TK01 Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. W01-W02, C01-C08 MEK01 MEK02 MEK03
2 TK02 Definicja i własności funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina i twierdzenie Frecheta. Funkcje Baire'a. Twierdzenie Vitaliego. W03-W08, C09-C12 MEK01 MEK04
2 TK03 Ciągi funkcji mierzalnych. Zbieżność prawie wszędzie, zbieżność według miary, zbieżność prawie jednostajna. Twierdzenie Jegorowa i twierdzenie Riesza. W09-W14, C13-C18 MEK01 MEK04 MEK05
2 TK04 Całka z funkcji nieujemnej i jej własności. Całka względem miary funkcji dowolnego znaku. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką względem miary. W15-W20, C19-C24 MEK01 MEK04 MEK06
2 TK05 Całka Lebesgue'a. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką Lebesgue'a. Bezwzględna ciągłość całki. Własności całki ze zmienną górną granicą całkowania. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zdominowanej. Twierdzenie Vitaliego. Związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a. W21-W30, C25-C30 MEK01 MEK04 MEK06
Strona: 6

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład
(sem. 2)

Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.

Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.

Ćwiczenia/Lektorat
(sem. 2)

Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem.

Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.

Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.

Konsultacje
(sem. 2)

Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.

Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.

Egzamin
(sem. 2)

Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.

Inne: 2.00 godz./sem.

Strona: 7

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego lub ustnego. Istnieje możliwość zwolnienia z egzaminu w oparciu o ocenę z ćwiczeń.
Ćwiczenia/Lektorat Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa Ocena końcowa jest oceną z egzaminu oraz oceną z ćwiczeń (średnia arytmetyczna oceny z ćwiczeń oraz egzaminu).
Strona: 8

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych przykładowe zadania funkcje rz II.pdf
Inne

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych: nie

Strona: 9

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie