Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z całką Lebesgue'a i jej podstawowymi własnościami oraz z głębokimi twierdzeniami dotyczącymi różniczkowalności prawie wszędzie i bezwzględnej ciagłości.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł jest realizowany w drugim semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (30 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	E. DiBenedetto	Real Analysis	Birkhäuser, Springer, New York.	2016
2	S. Łojasiewicz	Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych	PWN, Warszawa.	1973
3	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986
4	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986
2	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Znajomość materiału zrealizowanego w ramach modułu Funkcje rzeczywiste I.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01	zna podstawowe pojęcia oraz definicje podawane w trakcie wykładów tj.: miara zewnętrzna, warunek Caratheodory'ego, miara Lebesgue'a, funkcja prosta, funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja mierzalna, ciąg funkcji mierzalnych zbieżny prawie wszędzie, według miary i prawie jednostajnie, całka Lebesgue'a, związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_W04++ K_W05++ K_W07+ K_U15+ K_K01+ K_K02+ K_K04+ K_K07+	X2A_W02+ X2A_W03+ X2A_U06+ X2A_U07+ X2A_U08+ X2A_U09+ X2A_K01+ X2A_K02+ X2A_K03+ X2A_K04+ X2A_K06+
02	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_U01+ K_U02+ K_U03+ K_U04+ K_U05+ K_U07+ K_U08+ K_U13+	X2A_W03+ X2A_U01+ X2A_U02+ X2A_U03+ X2A_U05+
03	umie obliczyć lub oszacować miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R2	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_U02+ K_U05+ K_U07++ K_U08+ K_U09+ K_U13+ K_U14+	X2A_W03+ X2A_U01+ X2A_U02+ X2A_U03+ X2A_U05+
04	umie sprawdzić, czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_U02+ K_U07++ K_U13+	X2A_W03+ X2A_U01+ X2A_U02+ X2A_U03+ X2A_U05+
05	umie sprawdzić, czy dany ciąg funkcji mierzalnych jest zbieżny prawie wszędzie lub zbieżny według miary oraz zbieżny prawie jednostajnie	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_U01+ K_U02+ K_U03+ K_U04+ K_U05+ K_U07+ K_U08+ K_U09+ K_U13+ K_U14+	X2A_W03+ X2A_U01+ X2A_U02+ X2A_U03+ X2A_U05+
06	umie obliczyć całkę Lebesgue'a funkcji prostej oraz umie obliczyć całkę Lebesgue'a korzystając z własności całki Lebesgue'a	wykład, ćwiczenia	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_U02+ K_U07++	X2A_W03+ X2A_U01+ X2A_U03+ X2A_U05+

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
2	TK01	Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a.	W01-W02, C01-C08	MEK01 MEK02 MEK03
2	TK02	Definicja i własności funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina i twierdzenie Frecheta. Funkcje Baire'a. Twierdzenie Vitaliego.	W03-W08, C09-C12	MEK01 MEK04
2	TK03	Ciągi funkcji mierzalnych. Zbieżność prawie wszędzie, zbieżność według miary, zbieżność prawie jednostajna. Twierdzenie Jegorowa i twierdzenie Riesza.	W09-W14, C13-C18	MEK01 MEK04 MEK05
2	TK04	Całka z funkcji nieujemnej i jej własności. Całka względem miary funkcji dowolnego znaku. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką względem miary.	W15-W20, C19-C24	MEK01 MEK04 MEK06
2	TK05	Całka Lebesgue'a. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką Lebesgue'a. Bezwzględna ciągłość całki. Własności całki ze zmienną górną granicą całkowania. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zdominowanej. Twierdzenie Vitaliego. Związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a.	W21-W30, C25-C30	MEK01 MEK04 MEK06

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2)	Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)	Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Inne: 2.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego lub ustnego. Istnieje możliwość zwolnienia z egzaminu w oparciu o ocenę z ćwiczeń.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest oceną z egzaminu oraz oceną z ćwiczeń (średnia arytmetyczna oceny z ćwiczeń oraz egzaminu).

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
przykładowe zadania funkcje rz II.pdf

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie