Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z całką Lebesgue'a i jej podstawowymi własnościami oraz z głębokimi twierdzeniami dotyczącymi różniczkowalności prawie wszędzie i bezwzględnej ciagłości.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł jest realizowany w drugim semestrze. Składa się z 30 godzin wykładów oraz z 30 godzin ćwiczeń rachunkowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	S. Łojasiewicz	Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych	PWN, Warszawa.	1973
2	J. Myjak	Funkcje rzeczywiste. Miara. Całka Lebesque'a	Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków.	2006
3	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986
4	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	J. Myjak	Funkcje rzeczywiste. Miara. Całka Lebesque'a	Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków.	2006
2	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne:

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01	zna podstawowe pojęcia oraz definicje podawane w trakcie wykładów przedmiotu funkcje rzeczywiste II tj.: funkcji prostej, funkcji charakterystycznej zbioru, funkcji mierzalnej, funkcji równych prawie wszędzie na danym zbiorze, ciągu funkcji mierzalnych zbieżnego prawie wszędzie, zbieżnego według miary i zbieżnego prawie jednostajnie, całki Lebesgue'a, związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001+++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
02	umie sprawdzić, czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
03	umie sprawdzić, czy dany ciąg funkcji mierzalnych jest zbieżny prawie wszędzie lub zbieżny według miary oraz zbieżny prawie jednostajnie	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
04	umie obliczyć całkę Lebesgue'a funkcji prostej oraz umie obliczyć całkę Lebesgue'a korzystając z własności całki Lebesgue'a	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001++ K_W002++ K_W003++ K_U007+++	X2A_W03 X2A_U01

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
2	TK01	Definicja i własności funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina i twierdzenie Frecheta. Funkcje Baire'a. Twierdzenie Vitaliego.	W01, W02, W03, C01, C02, C03	MEK01 MEK02
2	TK02	Ciągi funkcji mierzalnych. Zbieżność prawie wszędzie, zbieżność według miary, zbieżność prawie jednostajna. Twierdzenie Jegorowa i twierdzenie Riesza.	W04, W05, W06, W07, C04, C05, C06, C07	MEK01 MEK03
2	TK03	Kolokwium z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C08	MEK01 MEK02 MEK03
2	TK04	Całka z funkcji nieujemnej i jej własności. Całka względem miary funkcji dowolnego znaku. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką względem miary.	W08, W09, W10, C09, C10	MEK01 MEK04
2	TK05	Całka Lebesgue'a. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką Lebesgue'a. Bezwzględna ciągłość całki. Własności całki ze zmienną górną granicą całkowania. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zdominowanej. Twierdzenie Vitaliego. Związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a.	W11, W12, W13, W14, W15, C11, C12, C13, C14	MEK01 MEK04
2	TK06	Kolokwium z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C15	MEK01 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2)	Przygotowanie do kolokwium: 5.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2)	Przygotowanie do ćwiczeń: 26.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)	Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Egzamin ustny: 1.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności na wykładach oraz na podstawie egzaminu pisemnego. Egzamin jest pisemny i obejmuje cały zakres wykładanego materiału w semestrze pierwszym i drugim.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z dwóch kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Przedmiot składa się z wykładów i ćwiczeń rachunkowych. Zaliczenia przedmiotu dokonuje się na podstawie zaliczenia ćwiczeń oraz na podstawie zaliczenia wykładów.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
przykładowe zadania funkcje rz II.pdf

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie