Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary ze szczególnym uwzględnieniem miary Lebesgue'a.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł jest realizowany w pierwszym semestrze. Składa się z 30 godzin wykładów oraz z 30 godzin ćwiczeń rachunkowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	S. Łojasiewicz	Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych	PWN, Warszawa.	1973
2	J. Myjak	Funkcje rzeczywiste. Miara. Całka Lebesque'a	Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków.	2006
3	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986
4	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	J. Myjak	Funkcje rzeczywiste. Miara. Całka Lebesque'a	Uczelniane Wydawnictwa Naukowo-Dydaktyczne, AGH, Kraków.	2006
2	J. Niewiarowski	Zadania z teorii miary	Wydawnictwo Uniwersytetu Łódzkiego, Łódź.	1999
3	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	PWN, Warszawa.	1986

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne:

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01	zna podstawowe pojęcia oraz definicje podawane w trakcie wykładów przedmiotu funkcje rzeczywiste I tj.: granica dolna i granica górna ciągu zbiorów, ciało zbiorów i sigma-ciało zbiorów, miara skończenie addytywna i miara przeliczalnie addytywna, miara zupełna, miara Jordana, miara zewnętrzna, warunek Caratheodory'ego, miara Lebesgue'a	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001+++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
02	umie wykonywać podstawowe działania na zbiorach oraz umie obliczać granicę dolną oraz granicę górną ciągu zbiorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium	K_W001++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
03	umie sprawdzić własności rodziny zbiorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium	K_W001++ K_W002++ K_W003++	X2A_W03
04	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą skończenie addytywną, czy jest miarą przeliczalnie addytywną oraz czy jest miarą zewnętrzną	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001++ K_W003++ K_U007+++	X2A_U01
05	umie obliczyć lub oszacować miarę Jordana lub miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R2	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W001++ K_W002++ K_W003++ K_U007+++	X2A_W03 X2A_U01

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
1	TK01	Zbiory, działania na zbiorach, rodzina zbiorów, ciągi zbiorów. Działania na rodzinie zbiorów. Granica dolna, granica górna i granica ciągu zbiorów. Rodzina addytywna, przeliczanie addytywna, dyferentywna, multiplikatywna, przeliczanie multiplikatywna, komplementarna. Ciało zbiorów i sigma-ciało zbiorów. Sigma-ciało generowane przez dowolną rodzinę zbiorów. Sigma-ciało zbiorów borelowskich.	W01, W02, W03, W04, C01, C02, C03, C04	MEK01 MEK02 MEK03
1	TK02	Miara skończenie addytywna i jej własności. Miara przeliczalnie addytywna. Przestrzeń z miarą. Miara zupełna. Rozszerzenie miary do miary zupełnej.	W05, W06, W07, C05, C06, C07	MEK01 MEK04
1	TK03	Kolokwium z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C08	MEK01 MEK02 MEK03 MEK04
1	TK04	Definicja i własności miary Jordana. Zbiór Cantora i jego miara Jordana. Zbiory mierzalne i niemierzalne w sensie Jordana.	W08, W09, W10, C09, C10	MEK01 MEK05
1	TK05	Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a.	W11, W12, W13, W14, W15, C11, C12, C13, C14	MEK01 MEK04 MEK05
1	TK06	Kolokwium z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C15	MEK01 MEK04 MEK05

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1)	Przygotowanie do kolokwium: 12.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1)	Przygotowanie do ćwiczeń: 26.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 14.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1)	Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Zaliczenie (sem. 1)

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności na wykładach. Materiał zrealizowany w tym semestrze będzie obowiązywał na egzaminie z przedmiotu Funkcje rzeczywiste II w drugim semestrze.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z dwóch kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Przedmiot składa się z wykładów i ćwiczeń rachunkowych. Zaliczenia przedmiotu dokonuje się na podstawie zaliczenia ćwiczeń oraz na podstawie zaliczenia wykładów.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
przykładowe zadania funkcje rz I.pdf

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie