tttttt
Strona: 1

Podstawowe informacje o zajęciach

Nazwa zajęć: Analiza funkcjonalna I

Cykl kształcenia: 2021/2022

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 1484

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii

Układ zajęć w planie studiów: sem: 1 / W30 C45 / 5 ECTS / Z

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: dr hab. prof. PRz Leszek Olszowy

Dane kontaktowe koordynatora: budynek L, pokój 7, tel. 17 8651092, , lolszowy@prz.edu.pl

Terminy konsultacji koordynatora: termin konsultacji podany w harmonogramie pracy Katedry Analizy Nieliniowei.

Pozostałe osoby prowadzące zajęcia

semestr 1: dr Szymon Dudek , termin konsultacji termin konsultacji podany w harmonogramie pracy Katedry Analizy Nieliniowej

Strona: 2

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach kształcenia: Tematy omawiane w tym module: Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

  1. Julian Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, Warszawa PWN., 1989
  2. Walter Rudin, Analiza funkcjonalna, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa., 1998

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

  1. Stanisław Prus, Adam Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Warszawa Wyd. nauk. PWN., 2009

Literatura do samodzielnego studiowania

  1. Julian Musielak, Wstęp analizy funkcjonalnej, Warszawa PWN., 1989

Literatura uzupełniająca

  1. A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, wyd. 1, PWN, Warszawa., 1969
  2. L. A. Lusternik, W. I. Sobolew,, Elementy analizy funkcjonalnej,, wyd. 1, PWN, Warszawa., 1959
Strona: 3

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Strona: 4

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Sposoby weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z PRK
01. potrafi zbadać zbieżność ciągu wektorów w przestrzeni unormowanej wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_W01+
K_W02+
K_U01+
K_U05+++
K_U09+++
K_U14++
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK
02. potrafi zbadać podstawowe własności topologiczne (zwartość, domkniętość, otwartość) niektórych podzbiorów pewnych przestrzeni Banacha wykład, ćwiczenia rachunkowe, zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_W01+
K_W03+
K_W04++
K_W05+
K_W07+
K_U03+
K_U07+
K_U08+++
P7S_UW
P7S_WG
03. potrafi zastosować odpowiednie metody najlepszej aproksymacji do prostych problemów minimalizacyjnych wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_U02+
K_U04+
K_U07+
K_U10+
K_U13++
K_U15+
K_U16+
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UU
P7S_UW
04. potrafi wyznaczyć normę ograniczonego operatora liniowego i zbadać jego niektóre własności wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_U04+
K_U17+
K_K01+
K_K02+
K_K04+
K_K07+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_KR
P7S_UW

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Strona: 5

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
1 TK01 1. Przestrzenie liniowe - przypomnienie pojęć. Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. 2. Przestrzenie Banacha. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. W01-W06, C01-C09 MEK01 MEK02
1 TK02 3. Własności topologiczne przestrzeni unormowanych. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. W07-W014, C10-C021 MEK01 MEK02
1 TK03 4. Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. W15-W20, C22-C33 MEK03
1 TK04 5. Operatory liniowe. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinhausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym. W21-W30, C34-C45 MEK01 MEK02 MEK04
Strona: 6

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład
(sem. 1)

Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.

Uzupełnienie/studiowanie notatek: 2.00 godz./sem.

Studiowanie zalecanej literatury: 10.00 godz./sem.

Ćwiczenia/Lektorat
(sem. 1)

Przygotowanie do ćwiczeń: 10.00 godz./sem.

Przygotowanie do kolokwium: 20.00 godz./sem.

Godziny kontaktowe: 45.00 godz./sem.

Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.

Konsultacje
(sem. 1)

Udział w konsultacjach: 3.00 godz./sem.

Zaliczenie
(sem. 1)

Przygotowanie do zaliczenia: 10.00 godz./sem.

Zaliczenie pisemne: 4.00 godz./sem.

Strona: 7

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenie wykładu odbywa się na podstawie obecności i zaliczenia ćwiczeń.
Ćwiczenia/Lektorat Ocena z ćwiczeń, po zaliczeniu wszystkich MEK-ów, jest wystawiana na podstawie sprawdzianów i aktywności na ćwiczeniach.
Ocena końcowa Ocenę końcową stanowi ocena z ćwiczeń.
Strona: 8

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia Semestr 1.pdf
Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
Inne

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych: nie

Strona: 9

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

Publikacje naukowe

  1. J. Banaś; L. Olszowy, Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation, ., 2020
  2. L. Olszowy; T. Zając, Some inequalities and superposition operator in the space of regulated functions, ., 2020
  3. S. Dudek; L. Olszowy, Measures of noncompactness and superposition operator in the space of regulated functions on an unbounded interval, ., 2020
  4. J. Banaś; L. Olszowy, On the equivalence of some concepts in the theory of Banach algebras, ., 2019
  5. L. Olszowy, Measures of noncompactness in the space of regulated functions, ., 2019
  6. S. Dudek; L. Olszowy, On generalization of Darbo-Sadovskii type fixed point theorems for iterated mappings in Frechet spaces, ., 2018