Analiza funkcjonalna I
Podstawowe informacje o zajęciach
Cel kształcenia i wykaz literatury
Główny cel kształcenia:
Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.
Ogólne informacje o zajęciach:
Tematy omawiane w tym module:
Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym.
Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
| 1 | Julian Musielak | Wstęp do analizy funkcjonalnej | Warszawa PWN. | 1989 |
| 2 | Walter Rudin | Analiza funkcjonalna | Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. | 1998 |
| 1 | Stanisław Prus, Adam Stachura | Analiza funkcjonalna w zadaniach | Warszawa Wyd. nauk. PWN. | 2009 |
| 1 | Julian Musielak | Wstęp analizy funkcjonalnej | Warszawa PWN. | 1989 |
Wymagania wstępne w kategorii wiedzy / umiejętności / kompetencji społecznych
Wymagania formalne:
student posiada ukończone studia pierwszego stopnia na kierunku matematyka
Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:
podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary
Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:
umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi
Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:
umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji
Efekty kształcenia dla zajęć
| MEK | Student, który zaliczył zajęcia | Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia | Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia | Związki z KEK | Związki z OEK |
|---|---|---|---|---|---|
| MEK01 | potrafi zbadać zbieżność ciągu wektorów w przestrzeni unormowanej | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K-W01+ K-W02+ K-W03+ K-W04++ K-W07+ K-U05++ K-U07+ K-U09++ K-U13+ |
W01 W02 U01+ U02 U05 |
| MEK02 | potrafi zbadać podstawowe własności topologiczne (zwartość, domkniętość, otwartość) niektórych podzbiorów pewnych przestrzeni Banacha | wykład, ćwiczenia rachunkowe, | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K-W01+ K-W02+ K-W03+ K-W05++ K-W07+ K-U01+ K-U02+ K-U03++ K-U07+ K-U08++ K-U09++ |
W01 W02 U01+ U02 U03 U05 |
| MEK03 | potrafi zastosować odpowiednie metody najlepszej aproksymacji do prostych problemów minimalizacyjnych | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K-W01+ K-U05++ K-U07+ K-U09+++ |
W01 U01+ |
| MEK04 | potrafi wyznaczyć normę ograniczonego operatora liniowego i zbadać jego niektóre własności | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K-W01+ K-W02+ K-W07+ K-U02+ K-U05++ K-U07+ K-U09+++ K-K02++ |
W01 U01+ U03 U05 K01 K02 |
Treści kształcenia dla zajęć
| Sem. | TK | Treści kształcenia | Realizowane na | MEK |
|---|---|---|---|---|
| 1 | TK01 | W01-W03, C01-C03 | MEK01 MEK02 | |
| 1 | TK02 | W04-W07, C04-C07 | MEK01 MEK02 | |
| 1 | TK03 | W08-W10, C09-C11 | MEK03 | |
| 1 | TK04 | W11-W15, C12-C14 | MEK01 MEK02 MEK04 |
Nakład pracy studenta
| Forma zajęć | Praca przed zajęciami | Udział w zajęciach | Praca po zajęciach |
|---|---|---|---|
| Wykład (sem. 1) | Godziny kontaktowe:
30.00 godz./sem. |
Uzupełnienie/studiowanie notatek:
5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem. |
|
| Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1) | Przygotowanie do ćwiczeń:
10.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 30.00 godz./sem. |
Godziny kontaktowe:
30.00 godz./sem. |
Dokończenia/studiowanie zadań:
5.00 godz./sem. |
| Konsultacje (sem. 1) | Przygotowanie do konsultacji:
2.00 godz./sem. |
Udział w konsultacjach:
8.00 godz./sem. |
|
| Zaliczenie (sem. 1) | Zaliczenie pisemne:
4.00 godz./sem. |
Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej
| Forma zajęć | Sposób wystawiania oceny podsumowującej |
|---|---|
| Wykład | Zaliczenie wykładu odbywa się na podstawie obecności i zaliczenia ćwiczeń. |
| Ćwiczenia/Lektorat | Ocena z ćwiczeń, po zaliczeniu wszystkich MEK-ów, jest wystawiana na podstawie sprawdzianów i aktywności na ćwiczeniach. Bezpośredni wynik ze sprawdzianów jest przeliczany na końcową ocenę według skali: 100%-91% - 5.0, 90%-81% - 4.5, 80%-71% - 4.0, 70%-61% - 3.5, 60%-0% - 3.0. |
| Ocena końcowa |
Przykładowe zadania
Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
Semestr 1.pdf
Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)
Inne
(-)
Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie