Nazwa zajęć: Analiza funkcjonalna I
Cykl kształcenia: 2018/2019
Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Nazwa kierunku studiów: Matematyka
Obszar kształcenia: nauki ścisłe
Profil studiów: ogólnoakademicki
Poziom studiów: drugiego stopnia
Forma studiów: stacjonarne
Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce
Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister
Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej
Kod zajęć: 1484
Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce
Układ zajęć w planie studiów: sem: 1 / W30 C30 / 5 ECTS / Z
Język wykładowy: polski
Imię i nazwisko koordynatora: dr hab. prof. PRz Leszek Olszowy
Dane kontaktowe koordynatora: budynek L, pokój 7, tel. 17 8651092, , lolszowy@prz.edu.pl
Terminy konsultacji koordynatora: Wtorek 14:00-15:30, L-7. Środa 10:30-12:00 L-7.
semestr 1: dr Szymon Dudek
Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.
Ogólne informacje o zajęciach kształcenia: Tematy omawiane w tym module: Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym.
Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych
Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych
Literatura do samodzielnego studiowania
Literatura uzupełniająca
Wymagania formalne: student posiada ukończone studia pierwszego stopnia na kierunku matematyka
Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary
Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi
Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji
| MEK | Student, który zaliczył zajęcia | Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia | Sposoby weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia | Związki z KEK | Związki z OEK |
|---|---|---|---|---|---|
| 01. | potrafi zbadać zbieżność ciągu wektorów w przestrzeni unormowanej | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_W04++ K_W07+ K_U05++ K_U07+ K_U09++ K_U13+ |
X2A_W01 X2A_W02 X2A_U01+ X2A_U02 X2A_U05 |
| 02. | potrafi zbadać podstawowe własności topologiczne (zwartość, domkniętość, otwartość) niektórych podzbiorów pewnych przestrzeni Banacha | wykład, ćwiczenia rachunkowe, | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_W05++ K_W07+ K_U01+ K_U02+ K_U03++ K_U07+ K_U08++ K_U09++ |
X2A_W01 X2A_W02 X2A_U01+ X2A_U02 X2A_U03 X2A_U05 |
| 03. | potrafi zastosować odpowiednie metody najlepszej aproksymacji do prostych problemów minimalizacyjnych | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K_W01+ K_U05++ K_U07+ K_U09+++ |
X2A_W01 X2A_U01+ |
| 04. | potrafi wyznaczyć normę ograniczonego operatora liniowego i zbadać jego niektóre własności | wykład, ćwiczenia rachunkowe | zaliczenie cz. pisemna, egzamin |
K_W01+ K_W02+ K_W07+ K_U02+ K_U05++ K_U07+ K_U09+++ K_K02++ |
X2A_W01 X2A_U01+ X2A_U03 X2A_U05 X2A_K01 X2A_K02 |
Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).
| Sem. | TK | Treści kształcenia | Realizowane na | MEK |
|---|---|---|---|---|
| 1 | TK01 | 1. Przestrzenie liniowe - przypomnienie pojęć. Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. 2. Przestrzenie Banacha. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. | W01-W03, C01-C03 | MEK01 MEK02 |
| 1 | TK02 | 3. Własności topologiczne przestrzeni unormowanych. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. | W04-W07, C04-C07 | MEK01 MEK02 |
| 1 | TK03 | 4. Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. | W08-W10, C09-C11 | MEK03 |
| 1 | TK04 | 5. Operatory liniowe. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym. | W11-W15, C12-C14 | MEK01 MEK02 MEK04 |
| Forma zajęć | Praca przed zajęciami | Udział w zajęciach | Praca po zajęciach |
|---|---|---|---|
| Wykład (sem. 1) |
Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem. |
Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem. |
|
| Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1) |
Przygotowanie do ćwiczeń: 10.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 30.00 godz./sem. |
Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem. |
Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem. |
| Konsultacje (sem. 1) |
Przygotowanie do konsultacji: 2.00 godz./sem. |
Udział w konsultacjach: 8.00 godz./sem. |
|
| Zaliczenie (sem. 1) |
Zaliczenie pisemne: 4.00 godz./sem. |
| Forma zajęć | Sposób wystawiania oceny podsumowującej |
|---|---|
| Wykład | Zaliczenie wykładu odbywa się na podstawie obecności i zaliczenia ćwiczeń. |
| Ćwiczenia/Lektorat | Ocena z ćwiczeń, po zaliczeniu wszystkich MEK-ów, jest wystawiana na podstawie sprawdzianów i aktywności na ćwiczeniach. Bezpośredni wynik ze sprawdzianów jest przeliczany na końcową ocenę według skali: 100%-91% - 5.0, 90%-81% - 4.5, 80%-71% - 4.0, 70%-61% - 3.5, 60%-0% - 3.0. |
| Ocena końcowa | Ocenę końcową stanowi ocena z ćwiczeń. |
| Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia |
Semestr 1.pdf |
| Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych | |
| Inne |
Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych: nie