Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach: Tematy omawiane w tym module: Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	Julian Musielak	Wstęp do analizy funkcjonalnej	Warszawa PWN.	1989
2	Walter Rudin	Analiza funkcjonalna	Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.	1998

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1

Stanisław Prus, Adam Stachura

Analiza funkcjonalna w zadaniach

Warszawa Wyd. nauk. PWN.

2009

Literatura do samodzielnego studiowania

1

Julian Musielak

Wstęp analizy funkcjonalnej

Warszawa PWN.

1989

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: student posiada ukończone studia pierwszego stopnia na kierunku matematyka

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01	potrafi zbadać zbieżność ciągu wektorów w przestrzeni unormowanej	wykład, ćwiczenia rachunkowe	zaliczenie cz. pisemna	K_W001+ K_W002+ K_W003+ K_W007+ K_U005++ K_U007+ K_U009+++	X2A_W01 X2A_U01+
02	potrafi zbadać podstawowe własności topologiczne (zwartość, domkniętość, otwartość) niektórych podzbiorów pewnych przestrzeni Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	zaliczenie cz. pisemna	K_W001+ K_W002+ K_W003+ K_W007+ K_U007+ K_U008+++ K_U009+++	X2A_W01 X2A_U01+
03	potrafi zastosować odpowiednie metody najlepszej aproksymacji do prostych problemów minimalizacyjnych	wykład, ćwiczenia rachunkowe	zaliczenie cz. pisemna	K_W001+ K_U005+++ K_U007+ K_U009+++	X2A_W01 X2A_U01+
04	potrafi wyznaczyć normę ograniczonego operatora liniowego i zbadać jego niektóre własności	wykład, ćwiczenia rachunkowe	zaliczenie cz. pisemna	K_W001+ K_W002+ K_W007+ K_U005++ K_U007+ K_U009+++	X2A_W01 X2A_U01+

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
1	TK01	1. Przestrzenie liniowe - przypomnienie pojęć. Suma algebraiczna, baza przestrzeni, przestrzeń ilorazowa, zbiór wypukły, pochłaniający, zbalansowany. Punkty ekstremalne. 2. Przestrzenie Banacha. Przestrzenie unormowane. Przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego.	W07, C07	MEK01 MEK02
1	TK02	3. Własności topologiczne przestrzeni unormowanych. Ośrodkowość. Izomorfizm przestrzeni i równoważność norm. Baza Schaudera. Uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Twierdzenie Baire'a. Przestrzenie produktowe i ilorazowe. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha.	W06, C06	MEK01 MEK02
1	TK03	4. Przestrzenie Hilberta. Przestrzenie unitarne. Nierówność Schwartza. Przestrzenie Hilberta. Twierdzenie o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne.	W07, C07	MEK03
1	TK04	5. Operatory liniowe. Operatory liniowe, operatory liniowe i ograniczone, norma operatora, przestrzeń liniowych operatorów ograniczonych. Niektóre klasy operatorów: izometria, izomorfizm, operatory skończenie wymiarowe, sprzężone, pełnociągłe. Twierdzenie Banacha-Steinchausa, Banacha o odwzorowaniu otwartym i o odwzorowaniu odwrotnym. Twierdzenie o dwu normach. Twierdzenie o wykresie domkniętym.	W10, C10	MEK01 MEK02 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1)	Przygotowanie do ćwiczeń: 10.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 30.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1)	Przygotowanie do konsultacji: 2.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 8.00 godz./sem.
Zaliczenie (sem. 1)		Zaliczenie pisemne: 4.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Ocena z wykładu jest wystawiana na podstawie obecności na wykładach.
Ćwiczenia/Lektorat	Ocena z ćwiczeń jest wystawiana w oparciu o 2 kolokwia (z wagą 50%) i aktywność na ćwiczeniach (waga 50%). Otrzymany wynik pośredni jest przeliczany na oceną według skali: 100%-91% - 5.0, 90%-81% - 4.5, 80%-71% - 4.0, 70%-61% - 3.5, 60%-51% - 3.0, 50%-0% - 2.0
Ocena końcowa

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
Semestr 1.pdf

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie