logo PRZ
Karta przedmiotu
logo WYDZ

Funkcje rzeczywiste II


Podstawowe informacje o zajęciach

Cykl kształcenia:
2018/2019
Nazwa jednostki prowadzącej studia:
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Nazwa kierunku studiów:
Matematyka
Obszar kształcenia:
nauki ścisłe
Profil studiów:
ogólnoakademicki
Poziom studiów:
drugiego stopnia
Forma studiów:
stacjonarne
Specjalności na kierunku:
zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce
Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów:
magister
Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia:
Katedra Analizy Nieliniowej
Kod zajęć:
4062
Status zajęć:
obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce
Układ zajęć w planie studiów:
sem: 2 / W30 C30 / 5 ECTS / E
Język wykładowy:
polski
Imię i nazwisko koordynatora:
prof. dr hab. Józef Banaś
Terminy konsultacji koordynatora:
podane w harmonogramie pracy jednostki.
semestr 2:
dr Agnieszka Chlebowicz
semestr 2:
dr hab. Beata Rzepka, prof. PRz

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia:
Zapoznanie studentów z całką Lebesgue'a i jej podstawowymi własnościami oraz z głębokimi twierdzeniami dotyczącymi różniczkowalności prawie wszędzie i bezwzględnej ciagłości.

Ogólne informacje o zajęciach:
Moduł jest realizowany w drugim semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (30 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych
1 E. DiBenedetto Real Analysis Birkhäuser, Springer, New York. 2016
2 S. Łojasiewicz Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych PWN, Warszawa. 1973
3 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
4 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958
Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych
1 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
2 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy / umiejętności / kompetencji społecznych

Wymagania formalne:
Znajomość materiału zrealizowanego w ramach modułu Funkcje rzeczywiste I.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:
Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:
Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:
Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z OEK
MEK01 zna podstawowe pojęcia oraz definicje podawane w trakcie wykładów tj.: miara zewnętrzna, warunek Caratheodory'ego, miara Lebesgue'a, funkcja prosta, funkcja charakterystyczna zbioru, funkcja mierzalna, ciąg funkcji mierzalnych zbieżny prawie wszędzie, według miary i prawie jednostajnie, całka Lebesgue'a, związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-W04++
K-W05++
K-W07+
K-U15+
K-K01+
K-K02+
K-K04+
K-K07+
 W02+
W03+
U06+
U07+
U08+
U09+
K01+
K02+
K03+
K04+
K06+
MEK02 umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-U01+
K-U02+
K-U03+
K-U04+
K-U05+
K-U07+
K-U08+
K-U13+
 W03+
U01+
U02+
U03+
U05+
MEK03 umie obliczyć lub oszacować miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R2 wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-U02+
K-U05+
K-U07++
K-U08+
K-U09+
K-U13+
K-U14+
 W03+
U01+
U02+
U03+
U05+
MEK04 umie sprawdzić, czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-U02+
K-U07++
K-U13+
 W03+
U01+
U02+
U03+
U05+
MEK05 umie sprawdzić, czy dany ciąg funkcji mierzalnych jest zbieżny prawie wszędzie lub zbieżny według miary oraz zbieżny prawie jednostajnie wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-U01+
K-U02+
K-U03+
K-U04+
K-U05+
K-U07+
K-U08+
K-U09+
K-U13+
K-U14+
 W03+
U01+
U02+
U03+
U05+
MEK06 umie obliczyć całkę Lebesgue'a funkcji prostej oraz umie obliczyć całkę Lebesgue'a korzystając z własności całki Lebesgue'a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K-W01+
K-W02+
K-W03+
K-U02+
K-U07++
 W03+
U01+
U03+
U05+

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
2 TK01 Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. W01-W02, C01-C08 MEK01 MEK02 MEK03
2 TK02 Definicja i własności funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina i twierdzenie Frecheta. Funkcje Baire'a. Twierdzenie Vitaliego. W03-W08, C09-C12 MEK01 MEK04
2 TK03 Ciągi funkcji mierzalnych. Zbieżność prawie wszędzie, zbieżność według miary, zbieżność prawie jednostajna. Twierdzenie Jegorowa i twierdzenie Riesza. W09-W14, C13-C18 MEK01 MEK04 MEK05
2 TK04 Całka z funkcji nieujemnej i jej własności. Całka względem miary funkcji dowolnego znaku. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką względem miary. W15-W20, C19-C24 MEK01 MEK04 MEK06
2 TK05 Całka Lebesgue'a. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką Lebesgue'a. Bezwzględna ciągłość całki. Własności całki ze zmienną górną granicą całkowania. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zdominowanej. Twierdzenie Vitaliego. Związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a. W21-W30, C25-C30 MEK01 MEK04 MEK06

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2) Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
 Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2) Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem.
Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.
 Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2) Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.
 Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2) Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.
 Inne: 2.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego lub ustnego. Istnieje możliwość zwolnienia z egzaminu w oparciu o ocenę z ćwiczeń.
Ćwiczenia/Lektorat Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
przykładowe zadania funkcje rz II.pdf

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi nie