logo
Karta przedmiotu
logo

Funkcje rzeczywiste II

Podstawowe informacje o zajęciach

Cykl kształcenia: 2021/2022

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 4062

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii

Układ zajęć w planie studiów: sem: 2 / W30 C30 / 5 ECTS / E

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: prof. dr hab. Józef Banaś

Terminy konsultacji koordynatora: podane w harmonogramie pracy jednostki.

semestr 2: dr Agnieszka Chlebowicz , termin konsultacji podany w harmonogramie pracy jednostki.

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z całką Lebesgue'a i jej podstawowymi własnościami oraz z głębokimi twierdzeniami dotyczącymi różniczkowalności prawie wszędzie i bezwzględnej ciagłości.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł jest realizowany w drugim semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (30 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych
1 S. Łojasiewicz Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych PWN, Warszawa. 1973
2 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
3 E. DiBenedetto Real Analysis Birkhäuser, Springer, New York. 2016
4 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958
Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych
1 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
2 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z PRK
01 posługuje się pojęciem miary Lebesgue'a, umie obliczyć lub oszacować miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R2 wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_W04+
K_W05+
K_W07+
K_U02+
K_U04+
K_U07++
K_U13+
K_U14+
K_K01+
K_K02+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK
02 posługuje się pojęciem funkcji mierzalnej, umie sprawdzić, czy funkcja jest mierzalna w sensie Lebesgue’a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_W04+
K_W05+
K_W07+
K_U02+
K_U07++
K_U13+
K_K01+
K_K02+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK
03 umie sprawdzić, czy dany ciąg funkcji mierzalnych jest zbieżny prawie wszędzie lub zbieżny według miary oraz zbieżny prawie jednostajnie wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_W04+
K_W05+
K_W07+
K_U01+
K_U02+
K_U03+
K_U07+
K_U13+
K_U14+
K_K01+
K_K02+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK
04 posługuje się pojęciem całki Lebesgue'a, umie obliczyć całkę Lebesgue'a funkcji prostej oraz umie obliczyć całkę Lebesgue'a korzystając z własności całki Lebesgue'a wykład, ćwiczenia kolokwium, egzamin K_W01+
K_W02+
K_W03+
K_W04+
K_W05+
K_W07+
K_U02+
K_U07++
K_U13+
K_U15+
K_K01+
K_K02+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UU
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
2 TK01 Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. W01-W02, C01-C08 MEK01
2 TK02 Definicja i własności funkcji mierzalnych. Twierdzenie Łuzina i twierdzenie Frecheta. Funkcje Baire'a. Twierdzenie Vitaliego. W03-W08, C09-C12 MEK02
2 TK03 Ciągi funkcji mierzalnych. Zbieżność prawie wszędzie, zbieżność według miary, zbieżność prawie jednostajna. Twierdzenie Jegorowa i twierdzenie Riesza. W09-W14, C13-C18 MEK02 MEK03
2 TK04 Całka z funkcji nieujemnej i jej własności. Całka względem miary funkcji dowolnego znaku. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką względem miary. W15-W20, C19-C24 MEK02 MEK04
2 TK05 Całka Lebesgue'a. Przykłady i kontrprzykłady związane z całką Lebesgue'a. Bezwzględna ciągłość całki. Własności całki ze zmienną górną granicą całkowania. Lemat Fatou. Twierdzenie Lebesgue'a o zbieżności monotonicznej i zdominowanej. Twierdzenie Vitaliego. Związek całki Riemanna z całką Lebesgue'a. W21-W30, C25-C30 MEK01 MEK02 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2) Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2) Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem.
Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.
Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Dokończenia/studiowanie zadań: 15.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)
Egzamin (sem. 2) Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.
Inne: 2.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego lub ustnego. Istnieje możliwość zwolnienia z egzaminu w oparciu o ocenę z ćwiczeń.
Ćwiczenia/Lektorat Zaliczenia ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa Ocena końcowa jest oceną z egzaminu oraz oceną z ćwiczeń (średnia arytmetyczna oceny z ćwiczeń oraz egzaminu).

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1 J. Banaś; J. Madej Asymptotically Stable Solutions of Infinite Systems of Quadratic Hammerstein Integral Equations 2024
2 J. Banaś; J. Ochab; T. Zając On the smoothness of normed spaces 2024
3 A. Ali; J. Banaś; . Mahfoudhi; B. Saadaoui (P,Q)–ε-Pseudo Condition Spectrum for 2×2 Matrices. Linear Operator and Application 2023
4 J. Banaś; R. Taktak Measures of noncompactness in the study of solutions of infinite systems of Volterra-Hammerstein-Stieltjes integral equations 2023
5 J. Banaś; V. Erturk; P. Kumar; A. Manickam; S. Tyagi A generalized Caputo-type fractional-order neuron model under the electromagnetic field 2023
6 J. Banaś; A. Chlebowicz; M. Taoudi On solutions of infinite systems of integral equations coordinatewise converging at infinity 2022
7 J. Banaś; R. Nalepa The Space of Functions with Tempered Increments on a Locally Compact and Countable at Infinity Metric Space 2022
8 J. Banaś; R. Nalepa; B. Rzepka The Study of the Solvability of Infinite Systems of Integral Equations via Measures of Noncompactness 2022
9 J. Banaś; W. Woś Solvability of an infinite system of integral equations on the real half-axis 2021
10 J. Banaś; A. Chlebowicz; W. Woś On measures of noncompactness in the space of functions defined on the half-axis with values in a Banach space 2020
11 J. Banaś; B. Krichen; B. Mefteh Fixed point theorems in WC-Banach algebras and their applications to infinite systems of integral equations 2020
12 J. Banaś; L. Olszowy Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation 2020
13 J. Banaś; A. Chlebowicz On solutions of an infinite system of nonlinear integral equations on the real half-axis 2019
14 J. Banaś; B. Rzepka Ocena efektywności inwestycji 2019
15 J. Banaś; B. Rzepka Wykłady matematyki finansowej 2019
16 J. Banaś; L. Olszowy On the equivalence of some concepts in the theory of Banach algebras 2019
17 J. Banaś; M. Krajewska On solutions of semilinear upper diagonal infinite systems of differential equations 2019
18 J. Banaś; R. Nalepa A measure of noncompactness in the space of functions with tempered increments on the half-axis and its applications 2019
19 J. Banaś; T. Zając On a measure of noncompactness in the space of regulated functions and its applications 2019
20 L. Abadias; E. Alvarez; J. Banaś; C. Lizama Solvability and uniform local attractivity for a Volterra equation of convolution type 2019