Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach: Tematy omawiane w tym module: Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma operatora i funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. Twierdzenie Banacha i Schaudera o punkcie stałym. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	J. Musielak	Wstęp do analizy funkcjonalnej	wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa.	1989
2	W. Rudin	Analiza funkcjonalna	wyd. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.	2002

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1

S. Prus, A.Stachura

Analiza funkcjonalna w zadaniach

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

2007

Literatura do samodzielnego studiowania

1	J. Musielak	Wstęp do analizy funcjonalnej	wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa.	1989
2	T. Pytlik	Analiza funkcjonalna	skrypt, internet .	2000

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary, analiza funkcjonalna I

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z PRK
01	potrafi badać spektrum i wyznaczyć rezolwentę najprostszych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W04++ K_W05++ K_W07+++ K_U04+ K_U05+ K_U09+ K_U10++ K_U13+ K_U15+ K_U16+ K_K02+	P7S_KK P7S_KO P7S_UK P7S_UO P7S_UU P7S_UW P7S_WG
02	potrafi obliczyć normę ograniczonego funkcjonału liniowego nad niektórymi przestrzeniami Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W04+ K_W05+ K_U02+ K_U05+ K_U07++ K_K01+	P7S_KK P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG
03	potrafi wyznaczyć operator sprzężony dla niektórych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W02+ K_W04++ K_W05++ K_W07++ K_U05+ K_U09++ K_U10+ K_U13+ K_U16+ K_K07+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UU P7S_UW P7S_WG P7S_WK
04	potrafi zbadać słabą zbieżność w niektórych przestrzeniach Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02++ K_W03+ K_U01+ K_U02+ K_U03++ K_U07++ K_U09++ K_U14+ K_K04+	P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG P7S_WK

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
2	TK01	1. Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność.	W01-08, C01-12	MEK02 MEK03 MEK04
2	TK02	2. Operatory w przestrzeniach Hilberta. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. 3. Elementy analizy spektralnej. Wartości własne, wektory własne, spektrum, zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych.	W09-20, C13-27	MEK01 MEK02 MEK03
2	TK03	4. Słaba zbieżność i słabe topologie w przestrzeniach unormowanych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. 5. Twierdzenia o punkcie stałym. Twierdzenie Banacha, Schaudera. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.	W21-30, C28-39	MEK02 MEK04
2	TK04	Kolokwia z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C40-45	MEK01 MEK02 MEK03 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 2.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2)	Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 45.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)		Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Egzamin pisemny: 3.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego (lub ustnego). Egzamin pisemny składa się z teorii i zadań dotyczących tematów omawianych na wykładach i ćwiczeniach.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenie ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest średnią ocen (pozytywnych) z egzaminu i z ćwiczeń z obu semestrów.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1	L. Olszowy; T. Zając	On Darbo- and Sadovskii-Type Fixed Point Theorems in Banach Spaces	2024
2	S. Dudek; L. Olszowy	Measures of noncompactness in the space of regulated functions on an unbounded interval	2022
3	S. Dudek; L. Olszowy	Remarks on incorrect measure of noncompactness in BC (R+ x R+)	2022
4	J. Banaś; L. Olszowy	Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation	2020
5	L. Olszowy; T. Zając	Some inequalities and superposition operator in the space of regulated functions	2020
6	S. Dudek; L. Olszowy	Measures of noncompactness and superposition operator in the space of regulated functions on an unbounded interval	2020
7	J. Banaś; L. Olszowy	On the equivalence of some concepts in the theory of Banach algebras	2019
8	L. Olszowy	Measures of noncompactness in the space of regulated functions	2019