Strona: 1

Podstawowe informacje o zajęciach

Nazwa zajęć: Analiza funkcjonalna II

Cykl kształcenia: 2018/2019

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 4061

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii, Zastosowania matematyki w informatyce

Układ zajęć w planie studiów: sem: 2 / W30 C30 / 5 ECTS / E

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: dr hab. prof. PRz Leszek Olszowy

Dane kontaktowe koordynatora: budynek L, pokój 7, tel. 17 8651092, , lolszowy@prz.edu.pl

Terminy konsultacji koordynatora: podane w harmonogramie pracy jednostki.

Pozostałe osoby prowadzące zajęcia

semestr 2: dr Szymon Dudek , termin konsultacji podane w harmonogramie pracy jednostki.

Strona: 2

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach kształcenia: Tematy omawiane w tym module: Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma operatora i funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. Twierdzenie Banacha i Schaudera o punkcie stałym. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

J. Musielak, Wstęp do analizy funkcjonalnej, wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa., 1989
W. Rudin, Analiza funkcjonalna, wyd. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa., 2002

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

S. Prus, A.Stachura, Analiza funkcjonalna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa., 2007

Literatura do samodzielnego studiowania

J. Musielak, Wstęp do analizy funcjonalnej, wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa., 1989

Literatura uzupełniająca

A. Alexiewicz, Analiza funkcjonalna, wyd. 1, PWN, Warszawa., 1969
L. A. Lusternik, W. I. Sobolew, Elementy analizy funkcjonalnej, wyd. 1, PWN, Warszawa., 1959
J. Chmieliński, Analiza funkcjonalna. Notatki do wykładu, (internet).,

Strona: 3

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary, analiza funkcjonalna I

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Strona: 4

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Sposoby weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01.	potrafi badać spektrum i wyznaczyć rezolwentę najprostszych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W04+ K_W07+ K_U02+ K_U04+ K_U09++ K_U10++ K_U13+ K_U14+ K_U16+ K_K01+ K_K02+ K_K07+	X2A_W02 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U03 X2A_U05 X2A_U06 X2A_U07 X2A_K01 X2A_K02 X2A_K06
02.	potrafi obliczyć normę ograniczonego funkcjonału liniowego nad niektórymi przestrzeniami Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_U05+ K_U07+ K_U09+ K_U10+ K_U13+ K_K04+ K_K07+	X2A_W03 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U05 X2A_K03 X2A_K04 X2A_K06
03.	potrafi wyznaczyć operator sprzężony dla niektórych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_W05+ K_W07+ K_U01+ K_U03+ K_U09+++ K_U15+ K_K04+	X2A_W02 X2A_W03 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U05 X2A_U06 X2A_U08 X2A_U09 X2A_K03 X2A_K04
04.	potrafi zbadać słabą zbieżność w niektórych przestrzeniach Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W03+ K_U01+ K_U02+ K_U03+ K_U05++ K_U07+ K_U09+++ K_K02+	X2A_U01 X2A_U02 X2A_U03 X2A_U05 X2A_K01 X2A_K02

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Strona: 5

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
2	TK01	1. Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność.	W01-04, C01-04	MEK02 MEK03 MEK04
2	TK02	2. Operatory w przestrzeniach Hilberta. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. 3. Elementy analizy spektralnej. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych.	W05-10, C05-09	MEK01 MEK02 MEK03
2	TK03	4. Słaba zbieżność i słabe topologie w przestrzeniach unormowanych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. 5. Twierdzenia o punkcie stałym. Twierdzenie Banacha, Schaudera. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.	W11-15, C10-13	MEK02 MEK04
2	TK04	Kolokwia z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C14-15	MEK01 MEK02 MEK03 MEK04

Strona: 6

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2)	Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)	Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Egzamin pisemny: 3.00 godz./sem.

Strona: 7

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego. Egzamin pisemny składa się z teorii i zadań dotyczących tematów omawianych na wykładach i ćwiczeniach.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenie ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Po zaliczeniu wszystkich form zajęć, ocena końcowa jest średnią z egzaminu i zaliczenia ćwiczeń z obu semestrów (pod warunkiem, że student zdał egzamin).