Analiza funkcjonalna II
Podstawowe informacje o zajęciach
Cel kształcenia i wykaz literatury
Główny cel kształcenia:
Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.
Ogólne informacje o zajęciach:
Tematy omawiane w tym module:
Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma operatora i funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma.
Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. Twierdzenie Banacha i Schaudera o punkcie stałym. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.
Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
| 1 | J. Musielak | Wstęp do analizy funkcjonalnej | wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa. | 1989 |
| 2 | W. Rudin | Analiza funkcjonalna | wyd. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. | 2002 |
| 1 | S. Prus, A.Stachura | Analiza funkcjonalna w zadaniach | Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. | 2007 |
| 1 | J. Musielak | Wstęp do analizy funcjonalnej | wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa. | 1989 |
Wymagania wstępne w kategorii wiedzy / umiejętności / kompetencji społecznych
Wymagania formalne:
Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów
Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:
podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary, analiza funkcjonalna I
Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:
umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi
Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:
umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji
Efekty kształcenia dla zajęć
| MEK | Student, który zaliczył zajęcia | Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia | Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia | Związki z KEK | Związki z OEK |
|---|---|---|---|---|---|
| MEK01 | potrafi badać spektrum i wyznaczyć rezolwentę najprostszych operatorów | wykład, ćwiczenia rachunkowe | kolokwium, egzamin |
K-W04+ K-W07+ K-U02+ K-U04+ K-U09++ K-U10++ K-U13+ K-U14+ K-U16+ K-K01+ K-K02+ K-K07+ |
W02 U01 U02 U03 U05 U06 U07 K01 K02 K06 |
| MEK02 | potrafi obliczyć normę ograniczonego funkcjonału liniowego nad niektórymi przestrzeniami Banacha | wykład, ćwiczenia rachunkowe | kolokwium, egzamin |
K-W01+ K-W02+ K-U05+ K-U07+ K-U09+ K-U10+ K-U13+ K-K04+ K-K07+ |
W03 U01 U02 U05 K03 K04 K06 |
| MEK03 | potrafi wyznaczyć operator sprzężony dla niektórych operatorów | wykład, ćwiczenia rachunkowe | kolokwium, egzamin |
K-W01+ K-W02+ K-W03+ K-W05+ K-W07+ K-U01+ K-U03+ K-U09+++ K-U15+ K-K04+ |
W02 W03 U01 U02 U05 U06 U08 U09 K03 K04 |
| MEK04 | potrafi zbadać słabą zbieżność w niektórych przestrzeniach Banacha | wykład, ćwiczenia rachunkowe | kolokwium, egzamin |
K-W01+ K-W03+ K-U01+ K-U02+ K-U03+ K-U05++ K-U07+ K-U09+++ K-K02+ |
U01 U02 U03 U05 K01 K02 |
Treści kształcenia dla zajęć
| Sem. | TK | Treści kształcenia | Realizowane na | MEK |
|---|---|---|---|---|
| 2 | TK01 | W01-04, C01-04 | MEK02 MEK03 MEK04 | |
| 2 | TK02 | W05-10, C05-09 | MEK01 MEK02 MEK03 | |
| 2 | TK03 | W11-15, C10-13 | MEK02 MEK04 | |
| 2 | TK04 | C14-15 | MEK01 MEK02 MEK03 MEK04 |
Nakład pracy studenta
| Forma zajęć | Praca przed zajęciami | Udział w zajęciach | Praca po zajęciach |
|---|---|---|---|
| Wykład (sem. 2) | Godziny kontaktowe:
30.00 godz./sem. |
Uzupełnienie/studiowanie notatek:
5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem. |
|
| Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2) | Przygotowanie do ćwiczeń:
30.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem. |
Godziny kontaktowe:
30.00 godz./sem. |
Dokończenia/studiowanie zadań:
5.00 godz./sem. |
| Konsultacje (sem. 2) | Przygotowanie do konsultacji:
4.00 godz./sem. |
Udział w konsultacjach:
4.00 godz./sem. |
|
| Egzamin (sem. 2) | Przygotowanie do egzaminu:
10.00 godz./sem. |
Egzamin pisemny:
3.00 godz./sem. |
Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej
| Forma zajęć | Sposób wystawiania oceny podsumowującej |
|---|---|
| Wykład | Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego. Egzamin pisemny składa się z teorii i zadań dotyczących tematów omawianych na wykładach i ćwiczeniach. |
| Ćwiczenia/Lektorat | Zaliczenie ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych. |
| Ocena końcowa |
Przykładowe zadania
Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)
Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)
Inne
(-)
Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie