Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach: Tematy omawiane w tym module: Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma operatora i funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. Twierdzenie Banacha i Schaudera o punkcie stałym. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	J. Musielak	Wstęp do analizy funkcjonalnej	wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa.	1989
2	W. Rudin	Analiza funkcjonalna	wyd. 2, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.	2002

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1

S. Prus, A.Stachura

Analiza funkcjonalna w zadaniach

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.

2007

Literatura do samodzielnego studiowania

1

J. Musielak

Wstęp do analizy funcjonalnej

wyd. 2 poprawione, PWN, Warszawa.

1989

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej, teoria miary, analiza funkcjonalna I

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z OEK
01	potrafi badać spektrum i wyznaczyć rezolwentę najprostszych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W04+ K_W07+ K_U02+ K_U04+ K_U09++ K_U10++ K_U13+ K_U14+ K_U16+ K_K01+ K_K02+ K_K07+	X2A_W02 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U03 X2A_U05 X2A_U06 X2A_U07 X2A_K01 X2A_K02 X2A_K06
02	potrafi obliczyć normę ograniczonego funkcjonału liniowego nad niektórymi przestrzeniami Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_U05+ K_U07+ K_U09+ K_U10+ K_U13+ K_K04+ K_K07+	X2A_W03 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U05 X2A_K03 X2A_K04 X2A_K06
03	potrafi wyznaczyć operator sprzężony dla niektórych operatorów	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W02+ K_W03+ K_W05+ K_W07+ K_U01+ K_U03+ K_U09+++ K_U15+ K_K04+	X2A_W02 X2A_W03 X2A_U01 X2A_U02 X2A_U05 X2A_U06 X2A_U08 X2A_U09 X2A_K03 X2A_K04
04	potrafi zbadać słabą zbieżność w niektórych przestrzeniach Banacha	wykład, ćwiczenia rachunkowe	kolokwium, egzamin	K_W01+ K_W03+ K_U01+ K_U02+ K_U03+ K_U05++ K_U07+ K_U09+++ K_K02+	X2A_U01 X2A_U02 X2A_U03 X2A_U05 X2A_K01 X2A_K02

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
2	TK01	1. Ciągłe funkcjonały liniowe. Norma funkcjonału, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Przestrzeń druga sprzężona. Refleksywność.	W01-04, C01-04	MEK02 MEK03 MEK04
2	TK02	2. Operatory w przestrzeniach Hilberta. Operatory sprzężone, hermitowskie, unitarne. 3. Elementy analizy spektralnej. Wartości własne, wektory własne, spektrum , zbiór rezolwenty, rezolwenta operatora, szereg von Neumana. Operatory całkowe, równania całkowe Fredholma. Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych.	W05-10, C05-09	MEK01 MEK02 MEK03
2	TK03	4. Słaba zbieżność i słabe topologie w przestrzeniach unormowanych. Przestrzenie lokalnie wypukłe. Twierdzenie o oddzielaniu zbiorów wypukłych. Słabe topologie. Twierdzenie Mazura, Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. 5. Twierdzenia o punkcie stałym. Twierdzenie Banacha, Schaudera. Przykłady zastosowań w teorii równań różniczkowych i całkowych.	W11-15, C10-13	MEK02 MEK04
2	TK04	Kolokwia z materiału zrealizowanego na wykładach i ćwiczeniach.	C14-15	MEK01 MEK02 MEK03 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 2)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 5.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 5.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 2)	Przygotowanie do ćwiczeń: 30.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 2)	Przygotowanie do konsultacji: 4.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 4.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 2)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Egzamin pisemny: 3.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego. Egzamin pisemny składa się z teorii i zadań dotyczących tematów omawianych na wykładach i ćwiczeniach.
Ćwiczenia/Lektorat	Zaliczenie ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa	Po zaliczeniu wszystkich form zajęć, ocena końcowa jest średnią z egzaminu i zaliczenia ćwiczeń z obu semestrów (pod warunkiem, że student zdał egzamin).

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: nie