logo PRZ
Karta przedmiotu
logo WYDZ

Funkcje rzeczywiste I


Podstawowe informacje o zajęciach

Cykl kształcenia:
2021/2022
Nazwa jednostki prowadzącej studia:
Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej
Nazwa kierunku studiów:
Matematyka
Obszar kształcenia:
nauki ścisłe
Profil studiów:
ogólnoakademicki
Poziom studiów:
drugiego stopnia
Forma studiów:
stacjonarne
Specjalności na kierunku:
zastosowania matematyki w ekonomii
Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów:
magister
Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia:
Katedra Analizy Nieliniowej
Kod zajęć:
1488
Status zajęć:
obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii
Układ zajęć w planie studiów:
sem: 1 / W30 C45 / 5 ECTS / Z
Język wykładowy:
polski
Imię i nazwisko koordynatora:
prof. dr hab. Józef Banaś
Terminy konsultacji koordynatora:
podane w harmonogramie pracy jednostki.
semestr 1:
dr Agnieszka Chlebowicz , termin konsultacji podany w harmonogramie pracy jednostki.

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia:
Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary ze szczególnym uwzględnieniem miary Lebesgue'a.

Ogólne informacje o zajęciach:
Moduł jest realizowany w pierwszym semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (45 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych
1 E. DiBenedetto Real Analysis Birkhäuser, Springer, New York. 2016
2 S. Łojasiewicz Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych PWN, Warszawa. 1973
3 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
4 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958
Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych
1 W. Rudin Analiza rzeczywista i zespolona PWN, Warszawa. 1986
2 R. Sikorski Funkcje rzeczywiste, tom I PWN, Warszawa. 1958

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy / umiejętności / kompetencji społecznych

Wymagania formalne:
Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy:
Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności:
Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych:
Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z PRK
MEK01 umie wykonywać podstawowe działania na zbiorach oraz umie obliczać granicę dolną oraz granicę górną ciągu zbiorów wykład, ćwiczenia kolokwium K-W01++
K-W02+
K-W03+
K-U01++
K-U02++
K-U04+
K-U08+
K-K01+
K-K04+
P7S-KK
P7S-KO
P7S-KR
P7S-UK
P7S-UO
P7S-UW
P7S-WG
P7S-WK
MEK02 umie sprawdzić własności rodziny zbiorów wykład, ćwiczenia kolokwium K-W01++
K-W02+
K-W03+
K-U01++
K-U02++
K-U04+
K-U07+
K-U08+
K-K01+
P7S-KK
P7S-UK
P7S-UO
P7S-UW
P7S-WG
P7S-WK
MEK03 umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą skończenie addytywną oraz czy jest miarą przeliczalnie addytywną wykład, ćwiczenia kolokwium K-W01++
K-W02+
K-W03+
K-W04+
K-U01++
K-U02++
K-U03++
K-U04+
K-U05+
K-U07+
K-U08+
K-U09+
K-U13+
K-U14+
K-K01+
K-K04+
P7S-KK
P7S-KO
P7S-KR
P7S-UK
P7S-UO
P7S-UW
P7S-WG
P7S-WK
MEK04 umie obliczyć lub oszacować miarę Jordana zbioru zawartego w R lub R^2 wykład, ćwiczenia kolokwium K-W01++
K-W02+
K-W03+
K-U01++
K-U02++
K-U03++
K-U04+
K-U07+
K-U15+
K-K01+
K-K02++
K-K04+
P7S-KK
P7S-KO
P7S-KR
P7S-UK
P7S-UO
P7S-UU
P7S-UW
P7S-WG
P7S-WK
MEK05 umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną wykład, ćwiczenia kolokwium K-W01++
K-W02+
K-W03+
K-W05+
K-W07+
K-U01++
K-U03++
K-U05+
K-U09+
K-U13+
K-U14+
K-K01+
K-K02++
K-K04+
K-K07+
P7S-KK
P7S-KO
P7S-KR
P7S-UK
P7S-UW
P7S-WG
P7S-WK

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
1 TK01 Zbiory, działania na zbiorach, rodzina zbiorów, ciągi zbiorów. Działania na rodzinie zbiorów. Granica dolna, granica górna i granica ciągu zbiorów. Rodzina addytywna, przeliczanie addytywna, dyferentywna, multiplikatywna, przeliczanie multiplikatywna, komplementarna. W01-W08, C01-C12 MEK01 MEK02
1 TK02 Ciało zbiorów i sigma-ciało zbiorów. Sigma-ciało generowane przez dowolną rodzinę zbiorów. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Miara skończenie addytywna i jej własności. Miara przeliczalnie addytywna. Przestrzeń z miarą. Miara zupełna. Rozszerzenie miary do miary zupełnej. W09-W16, C13-C24 MEK03
1 TK03 Definicja i własności miary Jordana. Zbiór Cantora i jego miara Jordana. Zbiory mierzalne i niemierzalne w sensie Jordana. W17-W22, C25-C33 MEK04
1 TK04 Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a. W23-W30, C34-C45 MEK05

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1) Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1) Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem.
Przygotowanie do kolokwium: 15.00 godz./sem.
Godziny kontaktowe: 45.00 godz./sem.
Dokończenia/studiowanie zadań: 10.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1) Przygotowanie do konsultacji: 3.00 godz./sem.
Udział w konsultacjach: 3.00 godz./sem.
Zaliczenie (sem. 1) Przygotowanie do zaliczenia: 10.00 godz./sem.
Zaliczenie pisemne: 4.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności na wykładach.
Ćwiczenia/Lektorat Student musi zaliczyć wszystkie MEKi. Ocena z zaliczenia jest średnią arytmetyczną ocen z poszczególnych MEKów, zaokrągloną do skali ocen.
Ocena końcowa Ocena końcowa jest oceną z zaliczenia ćwiczeń.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi tak

1 J. Banaś; A. Chlebowicz; B. Rzepka Infinite Systems of Differential and Integral Equations: Current State and Some Open Problems 2025
2 J. Banaś; B. Krichen; B. Mefteh; D. O’Regan Fixed point theory in RWC–Banach algebras 2025
3 J. Banaś; J. Madej; B. Rzepka Infinite system of integral equations associated with birth-and-death stochastic process: A challenge to solve 2025
4 J. Banaś; J. Madej Asymptotically Stable Solutions of Infinite Systems of Quadratic Hammerstein Integral Equations 2024
5 J. Banaś; J. Madej On solutions vanishing at infinity of infinite systems of quadratic Urysohn integral equations 2024
6 J. Banaś; J. Ochab; T. Zając On the smoothness of normed spaces 2024
7 A. Ali; J. Banaś; . Mahfoudhi; B. Saadaoui (P,Q)–ε-Pseudo Condition Spectrum for 2×2 Matrices. Linear Operator and Application 2023
8 J. Banaś; R. Taktak Measures of noncompactness in the study of solutions of infinite systems of Volterra-Hammerstein-Stieltjes integral equations 2023
9 J. Banaś; V. Erturk; P. Kumar; A. Manickam; S. Tyagi A generalized Caputo-type fractional-order neuron model under the electromagnetic field 2023
10 J. Banaś; A. Chlebowicz; M. Taoudi On solutions of infinite systems of integral equations coordinatewise converging at infinity 2022
11 J. Banaś; R. Nalepa The Space of Functions with Tempered Increments on a Locally Compact and Countable at Infinity Metric Space 2022
12 J. Banaś; R. Nalepa; B. Rzepka The Study of the Solvability of Infinite Systems of Integral Equations via Measures of Noncompactness 2022
13 J. Banaś; W. Woś Solvability of an infinite system of integral equations on the real half-axis 2021
14 J. Banaś; A. Chlebowicz; W. Woś On measures of noncompactness in the space of functions defined on the half-axis with values in a Banach space 2020
15 J. Banaś; B. Krichen; B. Mefteh Fixed point theorems in WC-Banach algebras and their applications to infinite systems of integral equations 2020
16 J. Banaś; L. Olszowy Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation 2020