Podstawowe informacje o zajęciach

Nazwa zajęć: Funkcje rzeczywiste I

Cykl kształcenia: 2021/2022

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 1488

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii

Układ zajęć w planie studiów: sem: 1 / W30 C45 / 5 ECTS / Z

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: prof. dr hab. Józef Banaś

Dane kontaktowe koordynatora: budynek L-27, pokój 5, tel. 17 8651496, jbanas@prz.edu.pl

Terminy konsultacji koordynatora: podane w harmonogramie pracy jednostki.

Pozostałe osoby prowadzące zajęcia

semestr 1: dr Agnieszka Chlebowicz , termin konsultacji podany w harmonogramie pracy jednostki.

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary ze szczególnym uwzględnieniem miary Lebesgue'a.

Ogólne informacje o zajęciach kształcenia: Moduł jest realizowany w pierwszym semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (45 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1. E. DiBenedetto, Real Analysis, Birkhäuser, Springer, New York., 2016
2. S. Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa., 1973
3. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa., 1986
4. R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, tom I, PWN, Warszawa., 1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1. W. Rudin, Analiza rzeczywista i zespolona, PWN, Warszawa., 1986
2. R. Sikorski, Funkcje rzeczywiste, tom I, PWN, Warszawa., 1958

Literatura uzupełniająca

1. I. P. Natanson, Theory of functions of a real variable, Ungar, New York., 1962

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas studiów pierwszego stopnia.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Sposoby weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z PRK
01.	umie wykonywać podstawowe działania na zbiorach oraz umie obliczać granicę dolną oraz granicę górną ciągu zbiorów	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W02+ K_W03+ K_U01++ K_U02++ K_U04+ K_U08+ K_K01+ K_K04+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG P7S_WK
02.	umie sprawdzić własności rodziny zbiorów	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W02+ K_W03+ K_U01++ K_U02++ K_U04+ K_U07+ K_U08+ K_K01+	P7S_KK P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG P7S_WK
03.	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą skończenie addytywną oraz czy jest miarą przeliczalnie addytywną	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W02+ K_W03+ K_W04+ K_U01++ K_U02++ K_U03++ K_U04+ K_U05+ K_U07+ K_U08+ K_U09+ K_U13+ K_U14+ K_K01+ K_K04+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG P7S_WK
04.	umie obliczyć lub oszacować miarę Jordana zbioru zawartego w R lub R^2	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W02+ K_W03+ K_U01++ K_U02++ K_U03++ K_U04+ K_U07+ K_U15+ K_K01+ K_K02++ K_K04+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UO P7S_UU P7S_UW P7S_WG P7S_WK
05.	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W02+ K_W03+ K_W05+ K_W07+ K_U01++ K_U03++ K_U05+ K_U09+ K_U13+ K_U14+ K_K01+ K_K02++ K_K04+ K_K07+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UK P7S_UW P7S_WG P7S_WK

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
1	TK01	Zbiory, działania na zbiorach, rodzina zbiorów, ciągi zbiorów. Działania na rodzinie zbiorów. Granica dolna, granica górna i granica ciągu zbiorów. Rodzina addytywna, przeliczanie addytywna, dyferentywna, multiplikatywna, przeliczanie multiplikatywna, komplementarna.	W01-W08, C01-C12	MEK01 MEK02
1	TK02	Ciało zbiorów i sigma-ciało zbiorów. Sigma-ciało generowane przez dowolną rodzinę zbiorów. Sigma-ciało zbiorów borelowskich. Miara skończenie addytywna i jej własności. Miara przeliczalnie addytywna. Przestrzeń z miarą. Miara zupełna. Rozszerzenie miary do miary zupełnej.	W09-W16, C13-C24	MEK03
1	TK03	Definicja i własności miary Jordana. Zbiór Cantora i jego miara Jordana. Zbiory mierzalne i niemierzalne w sensie Jordana.	W17-W22, C25-C33	MEK04
1	TK04	Miara zewnętrzna. Warunek Caratheodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a.	W23-W30, C34-C45	MEK05

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1)	Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 15.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 45.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 10.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1)	Przygotowanie do konsultacji: 3.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 3.00 godz./sem.
Zaliczenie (sem. 1)	Przygotowanie do zaliczenia: 10.00 godz./sem.	Zaliczenie pisemne: 4.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności na wykładach.
Ćwiczenia/Lektorat	Student musi zaliczyć wszystkie MEKi. Ocena z zaliczenia jest średnią arytmetyczną ocen z poszczególnych MEKów, zaokrągloną do skali ocen.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest oceną z zaliczenia ćwiczeń.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
Inne

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych: nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

Publikacje naukowe

1. J. Banaś; W. Woś, Solvability of an infinite system of integral equations on the real half-axis, ., 2021
2. J. Banaś; A. Chlebowicz; W. Woś, On measures of noncompactness in the space of functions defined on the half-axis with values in a Banach space, ., 2020
3. J. Banaś; B. Krichen; B. Mefteh, Fixed point theorems in WC-Banach algebras and their applications to infinite systems of integral equations, ., 2020
4. J. Banaś; L. Olszowy, Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation, ., 2020
5. J. Banaś; A. Chlebowicz, On solutions of an infinite system of nonlinear integral equations on the real half-axis, ., 2019
6. J. Banaś; B. Rzepka, Ocena efektywności inwestycji, OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ., 2019
7. J. Banaś; B. Rzepka, Wykłady matematyki finansowej, OFICYNA WYDAWNICZA POLITECHNIKI RZESZOWSKIEJ., 2019
8. J. Banaś; L. Olszowy, On the equivalence of some concepts in the theory of Banach algebras, ., 2019
9. J. Banaś; M. Krajewska, On solutions of semilinear upper diagonal infinite systems of differential equations, ., 2019
10. J. Banaś; R. Nalepa, A measure of noncompactness in the space of functions with tempered increments on the half-axis and its applications, ., 2019
11. J. Banaś; T. Zając, On a measure of noncompactness in the space of regulated functions and its applications, ., 2019
12. L. Abadias; E. Alvarez; J. Banaś; C. Lizama, Solvability and uniform local attractivity for a Volterra equation of convolution type, ., 2019
13. J. Banaś; A. Chlebowicz, On a quadratic integral equation of Erdélyi-Kober type in the class of subpower functions, ., 2018
14. J. Banaś; A. Dubiel, Solutions of a quadratic Volterra–Stieltjes integral equation in the class of functions converging at infinity, ., 2018
15. J. Banaś; T. Zając, Well-Posed Minimization Problems via the Theory of measures of noncompactness, JOHN WILEY & SONS INC., 2018
16. J. Banaś; A. Chlebowicz, On an elementary inequality and its application in the theory of integral equations, ., 2017
17. J. Banaś; A. Chlebowicz, Solvability of an integral equation of Erdélyi-Kober type in the class of subpower functions, ., 2017
18. J. Banaś; A. Dubiel, Solvability of a Volterra-Stieltjes integral equation in the class of functions having limits at infinity., ., 2017
19. J. Banaś; B. Rzepka, On solutions of infinite systems of integral equations of Hammerstein type, ., 2017
20. J. Banaś; M. Jleli; M. Mursaleen; B. Samet; C. Vetro, Advances in Nonlinear Analysis via the Concept of Measure of Noncompactness, Springer Nature Singapore Pte Ltd.., 2017
21. J. Banaś; M. Kot, On Regulated Functions, ., 2017
22. J. Banaś; M. Krajewska, Existence of solutions for infinite systems of differential equations in spaces of tempered sequences, ., 2017
23. J. Banaś; M. Mursaleen; S. Rizvi, Existence of solutions to a boundary-value problem for an infinite system of differential equations, ., 2017
24. J. Banaś; N. Merentes; B. Rzepka, Measures of Noncompactness in the Space of Continuous and Bounded Functions Defined on the Real Half-Axis , Springer Nature Singapore Pte Ltd.., 2017
25. J. Banaś; S. Prus, Scientific life of Professor Kazimierz Goebel, ., 2017