Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie się z teorią funkcji zespolonych, zrozumienie podobieństw i różnic z teorią funkcji rzeczywistych jednej i dwu zmiennych. Swobodne posługiwanie się pojęciami analizy zespolonej.

Ogólne informacje o zajęciach: Zakres materiału dotyczy pojęć: funkcji zespolonej zmiennej rzeczywistej; jej interpretacji i zastosowań; funkcji zespolonej zmiennej zespolonej, jej granicy, ciągłości i pochodnej oraz pojęcia funkcji holomorficznej oraz funkcji meromorficznej i ich własności

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	Franciszek Leja	Funkcje zespolone	PWN Warszawa.	2008
2	J. Chądzyński	Wstęp do analizy zespolonej	Wydawnictwo Naukowe PWN.	2000

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	J. Krzyż	Zbiór zadań z funkcji analitycznych	Wydawnictwo Naukowe PWN.	2005
2	Bolesław Szafnicki	Zadania z funkcji zespolonych	PWN Warszawa, Kraków.	1971

Literatura do samodzielnego studiowania

1

A. Ganczar

Analiza Matematyczna w zadaniach

Wydawnictwo Naukowe PWN.

2010

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Podstawowa wiedza z zakresu rachunku różniczkowego i całkowego funkcji zmiennych rzeczywistych. Podstawowe informacje z zakresu algebry i geometrii.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność obliczania pochodnej i całki funkcji rzeczywistej jednej i wielu zmiennych.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Świadomość poziomu swojej wiedzy i umiejętności w zakresie matematyki, w szczególności analizy zespolonej oraz potrzeby jego podnoszenia.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z PRK
01	Zna podstawowe przekształcenia płaszczyzny zespolonej oraz ich własności. Potrafi wyznaczać obrazy określonych zbiorów przy tych przekształceniach. Zna pojęcia ciągu i szeregu liczb zespolonych oraz szeregu funkcyjnego, w tym szeregu potęgowego. Potrafi liczyć granice ciągów liczb zespolonych i badać zbieżność niektórych szeregów.	wykład zdalny, ćwiczenia rachunkowe, e-learning	kolokwium lub egzamin (pisemny lub ustny)	K_W01+ K_W04++ K_U08+ K_U14+ K_K07+	P7S_KK P7S_KO P7S_KR P7S_UW P7S_WG
02	Zna funkcje elementarne zespolone i potrafi wykorzystać ich własności. Zna pojęcie pochodnej i pochodnych formalnych funkcji zespolonej, potrafi wyznaczać pochodną i pochodne formalne, potrafi przedstawić niektóre funkcje elementarne w postaci szeregów potęgowych	wykład zdalny, ćwiczenia rachunkowe, e-learning	kolokwium lub egzamin (pisemny lub ustny)	K_W02++ K_W07+ K_U01+ K_U14+ K_K04+	P7S_KO P7S_KR P7S_UW P7S_WG P7S_WK
03	Zna pojęcie funkcji analitycznej i holomorficznej oraz ich podstawowe własności. Potrafi ocenić czy funkcja jest analityczna lub holomorficzna. Zna pojęcie odwzorowania konforemnego i potrafi wykorzystać jego własności.	wykład zdalny, ćwiczenia rachunkowe, e-learning	kolokwium lub egzamin (pisemny lub ustny)	K_W01+ K_W05++ K_U02+ K_U03+ K_U04+ K_U05+ K_U13+ K_U14+ K_K02+	P7S_KK P7S_KO P7S_UK P7S_UO P7S_UW P7S_WG
04	Zna pojęcie funkcji meromorficznej, punktów osobliwych i residuów funkcji oraz pojęcie szeregu Laurenta. Potrafi rozwinąć funkcję w szereg Laurenta. Potrafi określić rodzaj osobliwości ustalonego punktu i obliczać residuum w tym punkcie. Zna treść twierdzeń całkowych i twierdzeń o residuach i potrafi je stosować do obliczania całek.	wykład zdalny, ćwiczenia rachunkowe, e-learning	kolokwium lub egzamin (pisemny lub ustny)	K_W01+ K_W03+ K_U05+ K_U14+ K_U15+ K_K01+	P7S_KK P7S_UK P7S_UO P7S_UU P7S_UW P7S_WG

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
1	TK01	Ciągi i szeregi liczbowe zespolone. Własności zbiorów na płaszczyźnie zespolonej, zbiory otwarte, domknięte, spójne. Przekształcenia na płaszczyźnie zespolonej, translacja, obrót, jednokładność, symetria względem prostej i okręgu. Krzywa na płaszczyźnie zespolonej, krzywa gładka, krzywa Jordana, kontur. Równania prostej, okręgu, elipsy, hiperboli.	W01-W15, C01-C15	MEK01
1	TK02	Ciągi i szeregi liczbowe zespolone. Funkcja zespolona zmiennej rzeczywistej i jej pochodna. Funkcje zespolone. Granica, ciągłość, część rzeczywista i urojona funkcji zespolonej. Funkcja złożona, funkcja odwrotna. Ciągi i szeregi funkcyjne, szeregi potęgowe i twierdzenia Cauchy - Hadamarda, Abela, Taubera. Przykłady funkcji zespolonych: exp z, trygonometryczne, logarytmiczne, potęgowe. Pochodne funkcji zespolonych zmiennej zespolonej, równania Cauchy - Riemanna, pochodne formalne, interpretacja pochodnej, funkcje analityczne (regularne), odwzorowanie konforemne i homograficzne.	W01-W15, C01-C15	MEK02
1	TK03	Całkowanie w dziedzinie zespolonej, całka zwyczajna, całka krzywoliniowa, funkcja pierwotna. Twierdzenie całkowe Cauchy'ego i jego uogólnienia, wzór całkowy Cauchy'ego i jego konsekwencje. Rozwijalność funkcji holomorficznej w szereg potęgowy, miejsca zerowe funkcji holomorficznej. Twierdzenie Morery. Nierówności Cauchy'ego. Funkcje całkowite, Twierdzenie Liouville'a. Zasada maksimum modułu, zasada minimumm, Lemat Schwarza. Zasadnicze Twierdzenie Algebry.	W01-W15, C01-C15	MEK03
1	TK04	Funkcje meromorficzne. Punkty osobliwe, residuum funkcji, twierdzenie o residuach. Twierdzenie Weierstrassa o rozkładzie funkcji całkowitej na iloczyn nieskończony. Małe Twierdzenie Picarda. Rozkład funkcji meromorficznej, Twierdzenie Mittag-Lefflera.	W01-W15, C01-C15	MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1)	Przygotowanie do kolokwium: 10.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 10.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 15.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1)	Przygotowanie do ćwiczeń: 10.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 12.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 45.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 15.00 godz./sem. Inne: 10.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1)	Przygotowanie do konsultacji: 3.00 godz./sem.	Udział w konsultacjach: 5.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 1)	Przygotowanie do egzaminu: 12.00 godz./sem.	Egzamin pisemny: 3.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności.
Ćwiczenia/Lektorat	Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest frekwencja na zajęciach i pozytywna ocena z ćwiczeń, która jest średnią arytmetyczną pozytywnych ocen z dwóch sprawdzianów pisemnych. Może ona zostać podwyższona o 1/2 stopnia po uwzględnieniu aktywności na ćwiczeniach.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest wystawiana jako średnia arytmetyczna oceny z ćwiczeń i oceny z egzaminu, zaokrąglana do najbliższej dopuszczonej regulaminem studiów oceny.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1	M. Nunokawa; J. Sokół; L. Trojnar-Spelina	Some results on p-valent functions	2023
2	R. Kargar; L. Trojnar-Spelina	Starlike functions associated with the generalized Koebe function	2021
3	M. Nunokawa; J. Sokół; L. Trojnar-Spelina	On a sufficient condition for function to be p-valent close-to-convex	2020
4	A. Ebadian; R. Kargar; L. Trojnar-Spelina	Further results for starlike functions related with Booth lemniscate	2019
5	L. Trojnar-Spelina; I. Włoch	On a new type of the companion Pell numbers	2019
6	L. Trojnar-Spelina; I. Włoch	On generalized Pell and Pell-Lucas numbers	2019
7	R. Kargar; L. Trojnar-Spelina	Some applications of differential subordination for certain starlike functions	2019