logo
Karta przedmiotu
logo

Analiza funkcjonalna

Podstawowe informacje o zajęciach

Cykl kształcenia: 2022/2023

Nazwa jednostki prowadzącej studia: Wydział Matematyki i Fizyki Stosowanej

Nazwa kierunku studiów: Matematyka

Obszar kształcenia: nauki ścisłe

Profil studiów: ogólnoakademicki

Poziom studiów: drugiego stopnia

Forma studiów: stacjonarne

Specjalności na kierunku: zastosowania matematyki w ekonomii

Tytuł otrzymywany po ukończeniu studiów: magister

Nazwa jednostki prowadzącej zajęcia: Katedra Analizy Nieliniowej

Kod zajęć: 1484

Status zajęć: obowiązkowy dla programu zastosowania matematyki w ekonomii

Układ zajęć w planie studiów: sem: 1 / W30 C30 / 5 ECTS / E

Język wykładowy: polski

Imię i nazwisko koordynatora: dr hab. prof. PRz Leszek Olszowy

Terminy konsultacji koordynatora: termin konsultacji podany w harmonogramie pracy Katedry Analizy Nieliniowei.

semestr 1: dr Szymon Dudek , termin konsultacji termin konsultacji podany w harmonogramie pracy Katedry Analizy Nieliniowej

Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Celem kształcenia jest przede wszystkim dostarczenie rzetelnej wiedzy z zakresu analizy funkcjonalnej. W trakcie zajęć z tego przedmiotu, studenci zostają zapoznani z podstawowymi strukturami oraz z metodami dowodzenia twierdzeń stosowanymi w tej dziedzinie. Ponadto, studenci poznają fundamentalne narzędzia analizy funkcjonalnej, jakimi posługuje się współczesna matematyka.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł składa się z 30 godzin wykładu i 30 godzin ćwiczeń, realizowanych w pierwszym semestrze. Kończy się egzaminem.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć
Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych
1 Julian Musielak Wstęp do analizy funkcjonalnej Warszawa PWN. 1989
2 Walter Rudin Analiza funkcjonalna Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa. 1998
Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych
1 Stanisław Prus, Adam Stachura Analiza funkcjonalna w zadaniach Warszawa Wyd. nauk. PWN. 2009
Literatura do samodzielnego studiowania
1 Julian Musielak Wstęp analizy funkcjonalnej Warszawa PWN. 1989

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: podstawowa wiedza z zakresu: algebra liniowa, topologia przestrzeni metrycznych, rachunek różniczkowy i całkowy funkcji jednej zmiennej.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: umiejętność wykonywania działań algebraicznych, obliczania granic, badania monotoniczności funkcji, obliczania całek, umiejętność operowania podstawowymi pojęciami topologicznymi

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: umiejętność samodzielnego i zespołowego uczenia się, świadomość poziomu własnej wiedzy i świadomość konieczności samoedukacji

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK Student, który zaliczył zajęcia Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia Związki z KEK Związki z PRK
01 potrafi zbadać podstawowe własności przestrzeni unormowanej i jej podzbiorów. wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_W01+
K_W02+
K_U01+
K_U05+++
K_U09+++
K_U14++
P7S_UW
P7S_WG
P7S_WK
02 potrafi zastosować podstawowe metody przestrzeni Hilberta wykład, ćwiczenia rachunkowe, zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_W01+
K_W03+
K_W04++
K_W05+
K_W07+
K_U03+
K_U07+
K_U08+++
P7S_UW
P7S_WG
03 potrafi wyznaczyć normę ograniczonego operatora liniowego i zbadać jego niektóre własności wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_U02+
K_U04+
K_U07+
K_U10+
K_U13++
K_U15+
K_U16+
P7S_UK
P7S_UO
P7S_UU
P7S_UW
04 potrafi zbadać podstawowe własności funkcjonałów i przestrzeni sprzężonych wykład, ćwiczenia rachunkowe zaliczenie cz. pisemna, egzamin K_U04+
K_U17+
K_K01+
K_K02+
K_K04+
K_K07+
P7S_KK
P7S_KO
P7S_KR
P7S_UW

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem. TK Treści kształcenia Realizowane na MEK
1 TK01 Przestrzenie Banacha, przykłady ciągowych i funkcyjnych przestrzeni Banacha. Lematy Holdera i Minkowskiego. Własności topologiczne przestrzeni unormowanych. Ośrodkowość, izomorfizm przestrzeni, równoważność norm, uzupełnianie przestrzeni unormowanych. Kryteria zwartości w niektórych przestrzeniach Banacha. W01-W06, C01-C06 MEK01
1 TK02 Przestrzenie Hilberta, nierówność Schwartza. Twierdzenia o najlepszej aproksymacji. Wyznacznik Gramma. Ortogonalność. Twierdzenie ortonormalizacyjne Schmidta. Twierdzenie o rozkładzie ortogonalnym. Układy ortogonalne. Współczynniki Fouriera i szeregi ortogonalne. W7-W11, C7-C11 MEK02
1 TK03 Operatory liniowe ograniczone, norma operatora. Niektóre klasy operatorów. Twierdzenia Banacha-Steinhausa, o odwzorowaniu otwartym, o odwzorowaniu odwrotnym, o wykresie domkniętym. Elementy analizy spektralnej, rezolwenta operatora. W12-W16, C12-C16 MEK03
1 TK04 Funkcjonały ograniczone, przestrzeń sprzężona. Twierdzenie Hahna-Banacha. Przestrzenie sprzężone klasycznych przestrzeni ciągowych i funkcyjnych. Twierdzenie Riesza. Operatory sprzężone. Refleksywność. W17-W21, C17-C21 MEK03 MEK04
1 TK05 Operatory w przestrzeniach Hilberta (H-sprzężone, hermitowskie, unitarne, projekcje, normalne). Twierdzene spektralne dla operatorów zwartych. W22-W26, C22-C26 MEK02 MEK03 MEK04
1 TK06 Słaba zbieżność i słabe topologie. Twierdzenia Alaoglu, Goldstine'a, Eberleina. Twierdzenia o przestrzeniach refleksywnych. W27-W30, C27-C30 MEK01 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć Praca przed zajęciami Udział w zajęciach Praca po zajęciach
Wykład (sem. 1) Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Uzupełnienie/studiowanie notatek: 2.00 godz./sem.
Studiowanie zalecanej literatury: 15.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 1) Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem.
Przygotowanie do kolokwium: 20.00 godz./sem.
Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Dokończenia/studiowanie zadań: 10.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 1) Przygotowanie do konsultacji: 2.00 godz./sem.
Udział w konsultacjach: 3.00 godz./sem.
Egzamin (sem. 1) Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.
Egzamin pisemny: 2.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie egzaminu pisemnego. Egzamin pisemny składa się z teorii i zadań dotyczących tematów omawianych na wykładach i ćwiczeniach.
Ćwiczenia/Lektorat Zaliczenie ćwiczeń dokonuje się na podstawie wyników z kolokwiów oraz na podstawie odpowiedzi ustnych.
Ocena końcowa Po zaliczeniu wszystkich form zajęć, ocena końcowa jest średnią z egzaminu i zaliczenia ćwiczeń (pod warunkiem, że student zdał egzamin).

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
Semestr 1.pdf

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1 S. Dudek; L. Olszowy Measures of noncompactness in the space of regulated functions on an unbounded interval 2022
2 S. Dudek; L. Olszowy Remarks on incorrect measure of noncompactness in BC (R+ x R+) 2022
3 J. Banaś; L. Olszowy Remarks on the space of functions of bounded Wiener-Young variation 2020
4 L. Olszowy; T. Zając Some inequalities and superposition operator in the space of regulated functions 2020
5 S. Dudek; L. Olszowy Measures of noncompactness and superposition operator in the space of regulated functions on an unbounded interval 2020
6 J. Banaś; L. Olszowy On the equivalence of some concepts in the theory of Banach algebras 2019
7 L. Olszowy Measures of noncompactness in the space of regulated functions 2019