Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z rachunkiem różnicowym i podstawowymi metodami rozwiązywania równań różnicowych.

Ogólne informacje o zajęciach: Wprowadzenie do teorii równań różnicowych. Podstawowe metody rozwiązywania równań i układów równań różnicowych.

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	S. Kanas	Podstawy ekonomii matematycznej	Warszawa PWN.	2011
2	S. Elaydi	An introduction to difference equations	Springer.	2005

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	S. Kanas	Podstawy ekonomii matematycznej	Warszawa PWN.	2011
2	H. Levy, F. Lessman	Równania różnicowe skończone	Warszawa PWN.	1966

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student powinien znać rachunek macierzowy i podstawowe działania na liczbach zespolonych.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Student powinien posiadać umiejętności w zakresie wykonywania działań na macierzach, wyznaczania wektorów własnych macierzy.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student rozumie potrzebę systematycznej nauki.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z PRK
01	Zna podstawowe własności operatora różnicowego i antyróżnicowego.	wykład, ćwiczenia rachunkowe	egzamin cz. pisemna, kolokwium	K_W01++ K_W03+ K_K01+	P6S_KK P6S_WG P6S_WK
02	Zna metody rozwiązywania równań różnicowych liniowych jednorodnych pierwszego i wyższych rzędów.	wykład, ćwiczenia rachunkowe	egzamin cz. pisemna, kolokwium	K_W02++ K_U11+	P6S_UO P6S_UU P6S_UW P6S_WG P6S_WK
03	Zna metodę współczynników nieoznaczonych do rozwiązywania liniowych równań różnicowych niejednorodnych.	wykład, ćwiczenia rachunkowe	egzamin cz. pisemna, kolokwium	K_W01++ K_U11+ K_K01+	P6S_KK P6S_UO P6S_UU P6S_UW P6S_WK
04	Potrafi rozwiązać układ równań różnicowych metodą eliminacji. Zna zastosowania równań i układów równań różnicowych w ekonomii.	wykład, ćwiczenia rachunkowe	egzamin cz. pisemna, kolokwium	K_W01++ K_K01+	P6S_KK P6S_WK

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
6	TK01	Pojęcia wstępne z rachunku różnicowego - funkcja dyskretna, operatory: różnicowy i antyróżnicowy i ich własności.	W01, W02, C01, C02	MEK01
6	TK02	Równania różnicowe - podstawowe twierdzenia. Klasyfikacja równań różnicowych. Liniowe równania różnicowe rzędu pierwszego, metoda iteracyjna.	W03, C03	MEK02
6	TK03	Liniowe równania różnicowe rzędu k jednorodne i niejednorodne.	W04, C04	MEK03
6	TK04	Rozwiązywanie liniowych niejednorodnych równań różnicowych o stałych współczynnikach: metoda współczynników nieoznaczonych, metoda uzmienniania stałych.	W05, W06, C05, C06	MEK03
6	TK05	Transformata Z i jej własności. Zastosowanie transformaty Z do rozwiązywania pewnych typów równań różnicowych.	W07, C07	MEK02
6	TK06	Nieliniowe równania różnicowe, metody sprowadzania ich do liniowych równań różnicowych.	W08, C09	MEK02 MEK03
6	TK07	Zastosowanie równań różnicowych w ekonomii. Model pajęczynowy, model Verhulsta, model Malthusa.	W09, W10, C10	MEK04
6	TK08	Wiadomości wstępne o układach równań różnicowych liniowych. Metoda eliminacji. Metoda uzmienniania stałych wyznaczania rozwiązania szczególnego układu niejednorodnego. Układy równań różnicowych liniowych o stałych współczynnikach.	W11, W12, W13, C11, C12,C13	MEK02 MEK04
6	TK09	Zastosowania układów równań różnicowych w ekonomii. Model rynku. Model Leontiefa.	W14, W15, C14	MEK04
6	TK10	Kolokwia	C08, C15	MEK01 MEK02 MEK03 MEK04

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 6)	Przygotowanie do kolokwium: 15.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Uzupełnienie/studiowanie notatek: 15.00 godz./sem. Studiowanie zalecanej literatury: 10.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 6)	Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 20.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 5.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 6)
Egzamin (sem. 6)	Przygotowanie do egzaminu: 10.00 godz./sem.	Egzamin pisemny: 2.00 godz./sem.

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Egzamin pisemny
Ćwiczenia/Lektorat	Warunkiem zaliczenia ćwiczeń jest zaliczenie wszystkich umiejętności podanych w warunkach zaliczenia modułu. Podwyższenie oceny można uzyskać przez rozwiązanie dodatkowych zadań na kolokwiach i aktywny udział w ćwiczeniach.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest średnią arytmetyczną z pozytywnych ocen z zaliczenia i z egzaminu. Egzamin odbywa się w formie pisemnej. Na egzamin obowiązuje materiał zrealizowany na wykładach.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : tak

Dostępne materiały : kartka ze wzorami

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1	D. Bród	On Some Combinatorial Properties of Balancing Split Quaternions	2024
2	D. Bród; A. Szynal-Liana	On generalized bihyperbolic Mersenne numbers	2024
3	D. Bród; A. Szynal-Liana	A new hybrid generalization of Fibonacci and Fibonacci-Narayana polynomials	2023
4	D. Bród; A. Szynal-Liana	Generalized commutative Jacobsthal quaternions and some matrices	2023
5	D. Bród; A. Szynal-Liana	Jacobsthal numbers, Pell numbers, their generalizations and applications	2023
6	D. Bród; A. Szynal-Liana	On Bihypernomials Related to Balancing and Chebyshev Polynomials	2023
7	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	One-Parameter Generalization of Dual-Hyperbolic Jacobsthal Numbers	2023
8	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	One-parameter generalization of the bihyperbolic Jacobsthal numbers	2023
9	G. Bilgici; D. Bród	On r-Jacobsthal and r-Jacobsthal-Lucas Numbers	2023
10	D. Bród; A. Michalski	On Generalized Jacobsthal and Jacobsthal–Lucas Numbers	2022
11	D. Bród; A. Szynal-Liana	On a New Generalization of Jacobsthal Hybrid Numbers	2022
12	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On some combinatorial properties of generalized commutative Jacobsthal quaternions and generalized commutative Jacobsthal-Lucas quaternions	2022
13	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	One-parameter generalization of dual-hyperbolic Pell numbers	2022
14	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	Two generalizations of dual-complex Lucas-balancing numbers	2022
15	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	Two-parameter generalization of bihyperbolic Jacobsthal numbers	2022
16	D. Bród	On balancing quaternions and Lucas-balancing quaternions	2021
17	D. Bród	On trees with unique locating kernels	2021
18	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	Balancing hybrid numbers, their properties and some identities	2021
19	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	Bihyperbolic numbers of the Fibonacci type and their idempotent representation	2021
20	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On a new generalization of bihyperbolic Pell numbers	2021
21	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On a new one-parameter generalization of dual-complex Jacobsthal numbers	2021
22	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On a new two-parameter generalization of dual-hyperbolic Jacobsthal numbers	2021
23	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On some combinatorial properties of bihyperbolic numbers of the Fibonacci type	2021
24	D. Bród; A. Włoch	(2,k)-Distance Fibonacci Polynomials	2021
25	D. Bród	On a new Jacobsthal-type sequence	2020
26	D. Bród	On distance (k, t)-Fibonacci numbers and their applications	2020
27	D. Bród	On some properties of split Horadam quaternions	2020
28	D. Bród	On split r-Jacobsthal quaternions	2020
29	D. Bród; A. Szynal-Liana	On J(r,n)-Jacobsthal Hybrid Numbers	2020
30	D. Bród; A. Szynal-Liana	On some combinatorial properties of P(r,n)-Pell quaternions	2020
31	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	On the combinatorial properties of bihyperbolic balancing numbers	2020
32	D. Bród; A. Szynal-Liana; I. Włoch	Two Generalizations of Dual-Hyperbolic Balancing Numbers	2020
33	D. Bród	On a new generalization of split Pell quaternions	2019
34	D. Bród	On a new one parameter generalization of Pell numbers	2019
35	D. Bród; A. Szynal-Liana	On a new generalization of Jacobsthal quaternions and several identities involving these numbers	2019