Cel kształcenia i wykaz literatury

Główny cel kształcenia: Zapoznanie studentów z podstawami teorii miary ze szczególnym uwzględnieniem miary Lebesgue'a.

Ogólne informacje o zajęciach: Moduł jest realizowany w trzecim semestrze w formie wykładów (30 godzin) oraz ćwiczeń rachunkowych (30 godzin).

Wykaz literatury, wymaganej do zaliczenia zajęć

Literatura wykorzystywana podczas zajęć wykładowych

1	E. DiBenedetto	Real Analysis	Birkhäuser, Springer, New York.	2016
2	S. Łojasiewicz	Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych	PWN, Warszawa.	1973
3	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.	2009
4	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Literatura wykorzystywana podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/innych

1	W. Rudin	Analiza rzeczywista i zespolona	Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa.	2009
2	R. Sikorski	Funkcje rzeczywiste, tom I	PWN, Warszawa.	1958

Wymagania wstępne w kategorii wiedzy/umiejętności/kompetencji społecznych

Wymagania formalne: Student spełnia wymagania formalne określone w regulaminie studiów.

Wymagania wstępne w kategorii Wiedzy: Student ma wiedzę z zakresu matematyki pozwalającą zrozumieć wykładany materiał.

Wymagania wstępne w kategorii Umiejętności: Umiejętność posługiwania się podstawowym aparatem matematycznym oraz wiedzą uzyskaną podczas pierwszego roku studiów.

Wymagania wstępne w kategorii Kompetencji społecznych: Student jest przygotowany do podjęcia merytorycznie uzasadnionych działań matematycznych w celu rozwiązania postawionego zadania.

Efekty kształcenia dla zajęć

MEK	Student, który zaliczył zajęcia	Formy zajęć/metody dydaktyczne prowadzące do osiągnięcia danego efektu kształcenia	Metody weryfikacji każdego z wymienionych efektów kształcenia	Związki z KEK	Związki z PRK
01	umie wykonywać podstawowe działania na zbiorach oraz umie obliczać granicę dolną oraz granicę górną ciągu zbiorów	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W04++ K_W06++ K_U02+	P6S_UU P6S_UW P6S_WG P6S_WK
02	umie sprawdzić własności rodziny zbiorów	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W04++ K_W06+ K_W12++ K_U02+ K_U06+ K_K06+	P6S_KK P6S_UK P6S_UU P6S_UW P6S_WG P6S_WK
03	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą skończenie addytywną oraz czy jest miarą przeliczalnie addytywną	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W02+ K_W04+ K_W06+ K_W12++	P6S_WG P6S_WK
04	umie obliczyć lub oszacować miarę Jordana zbioru zawartego w R lub R^2	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_U01+ K_U02+	P6S_UK P6S_UU P6S_UW P6S_WK
05	umie sprawdzić, czy podana funkcja jest miarą zewnętrzną	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W02+ K_U02+ K_U06+ K_K06+	P6S_KK P6S_UK P6S_UU P6S_UW P6S_WG P6S_WK
06	posługuje się pojęciem miary Lebesgue'a, umie obliczyć lub oszacować miarę Lebesgue'a zbioru zawartego w R lub R^2	wykład, ćwiczenia	kolokwium	K_W01++ K_W04+ K_W06+ K_U01+ K_U37+++ K_K01+ K_K06++	P6S_KK P6S_UK P6S_WG P6S_WK

Uwaga: W zależności od sytuacji epidemicznej, jeżeli nie będzie możliwości weryfikacji osiągniętych efektów uczenia się określonych w programie studiów w sposób stacjonarny w szczególności zaliczenia i egzaminy kończące określone zajęcia będą mogły się odbywać przy użyciu środków komunikacji elektronicznej (w sposób zdalny).

Treści kształcenia dla zajęć

Sem.	TK	Treści kształcenia	Realizowane na	MEK
3	TK01	Zbiory, działania na zbiorach, rodzina zbiorów, działania uogólnione na rodzinach zbiorów. Ciągi zbiorów, granica dolna, granica górna i granica ciągu zbiorów.	W01-W06, C01-C06	MEK01
3	TK02	Rodzina addytywna, przeliczanie addytywna, dyferentywna, multiplikatywna, przeliczanie multiplikatywna, komplementarna. Ciało zbiorów i sigma-ciało zbiorów. Sigma-ciało generowane przez dowolną rodzinę zbiorów. Sigma-ciało zbiorów borelowskich.	W07-W12, C07-C12	MEK02
3	TK03	Miara skończenie addytywna i jej własności. Miara przeliczalnie addytywna. Przestrzeń z miarą. Miara zupełna. Rozszerzenie miary do miary zupełnej.	W13-W18, C13-C18	MEK03
3	TK04	Definicja i własności miary Jordana. Zbiór Cantora i jego miara Jordana. Zbiory mierzalne i niemierzalne w sensie Jordana.	W19-W22, C19-C22	MEK04
3	TK05	Miara zewnętrzna. Warunek Carathéodory'ego. Miara zewnętrzna metryczna. Miara Lebesgue'a. Struktura zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Zadania związane z wyznaczaniem miary Lebesgue'a zbiorów i własnościami zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Przykłady zbiorów niemierzalnych w sensie Lebesgue'a.	W23-W30, C23-C30	MEK05 MEK06

Nakład pracy studenta

Forma zajęć	Praca przed zajęciami	Udział w zajęciach	Praca po zajęciach
Wykład (sem. 3)		Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.
Ćwiczenia/Lektorat (sem. 3)	Przygotowanie do ćwiczeń: 15.00 godz./sem. Przygotowanie do kolokwium: 20.00 godz./sem.	Godziny kontaktowe: 30.00 godz./sem.	Dokończenia/studiowanie zadań: 10.00 godz./sem.
Konsultacje (sem. 3)	Przygotowanie do konsultacji: 5.00 godz./sem.
Zaliczenie (sem. 3)

Sposób wystawiania ocen składowych zajęć i oceny końcowej

Forma zajęć	Sposób wystawiania oceny podsumowującej
Wykład	Zaliczenia wykładu dokonuje się na podstawie obecności na wykładach.
Ćwiczenia/Lektorat	Student musi zaliczyć wszystkie MEKi. Ocena z zaliczenia jest średnią arytmetyczną ocen z poszczególnych MEKów, zaokrągloną do skali ocen.
Ocena końcowa	Ocena końcowa jest oceną z zaliczenia ćwiczeń.

Przykładowe zadania

Wymagane podczas egzaminu/zaliczenia
(-)

Realizowane podczas zajęć ćwiczeniowych/laboratoryjnych/projektowych
(-)

Inne
(-)

Czy podczas egzaminu/zaliczenia student ma możliwość korzystania z materiałów pomocniczych : nie

Treści zajęć powiazane są z prowadzonymi badaniami naukowymi: tak

1	J. Appell; A. Chlebowicz; S. Reinwand; B. Rzepka	Can one recognize a function from its graph?	2023
2	J. Banaś; A. Chlebowicz; M. Taoudi	On solutions of infinite systems of integral equations coordinatewise converging at infinity	2022
3	A. Chlebowicz	Existence of solutions to infinite systems of nonlinear integral equations on the real half-axis	2021
4	A. Chlebowicz	Solvability of an infinite system of nonlinear integral equations of Volterra-Hammerstein type	2020
5	J. Banaś; A. Chlebowicz; W. Woś	On measures of noncompactness in the space of functions defined on the half-axis with values in a Banach space	2020
6	J. Banaś; A. Chlebowicz	On solutions of an infinite system of nonlinear integral equations on the real half-axis	2019